CHAPITRE II

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(PIOBLbifS IHTSRIBUB), par la HfiTHODE DRB APPROXIIATIONS SUCCESSIVES.

1. Etant réalisées quelques hypothèses, très larges, relativement aux données, nous savons que l'intégrale de

existe et prend les valeurs données (ainsi que sa dérivée conormate) à la frontière.

Nous pouvons essayer, par suite, de passer de l'équation (i) à l'équation (E) par cette méthode d'approximations successives, qui a donné des résultats si importants à M. Picard (') pour l'équation linéaire du deuxième ordre à deux variables.

Le principe est le suivant :

Écrivons (E) sous la forme

(a, b, c, h, y sont fonctions de x,y, sentes). On forme d'abord l'intégrale u^ de

«, et -~ prenant les valeurs données sur la surface des données S. Connaissant u,, on forme l'intégrale u, de

(') Foi/Préface.

74 "• D ADHEMAR.

Puis on intègre (E.) A(«,) =*(«,).

«3 et -j|^ élanl nu/« sur S, et ainsi de suite.

Les équations (Eo), (E,), . . . sont toutes du type (i) et l'on a pour Vifilégrale cherchée

H ^ u, + « , + «^ + , , , , à condition que

2*""' 2à~d2' 2à~dy' 2^1h

soient convergentes.

2. Étudions donc les séries considérées. Puisque f(^x,y, s) reste fini dans la région considérée de l'espace (enveloppe des cônes A touchant le bord de S), «,(a;, y, z) et ses dérivées premières restent finis. On peut donc connaître, en fonction des données, un nombre M >" o tel que, dans tout le champ, on ait

^ "^ \ dx dy <)s !

Appelons Z la cote du point le plus éleié de l'aire de S découpée par un cône quelconque A ayant pour sommet un point {x,y,z) du champ d'intègrabllilé déterminé par la forme et l'étendue de S.

On a (1" Partie, Chapitre I, n" 1)

(l'accent désigne l'une quelconque des trois dérivées partielles). D'où

K étant supérieur au plus grand des modules des fonctions a, b, c, h, dans le champ.

Or, dans ce champ total, nous pouvons fixer encore un nombre H tel que

ce qui donne