PROBLÈME INTÉRIEUR

IHTËGBATIOTI J)B \{u) = F{X, y, s), LORSQUE LA SLHFACE QUI POtTK LES DOMRtSS EST DËCOUPËE iNTEllBUREHEKT d'uKE MANItlHE iNIQUE PAR TOUT CÔNE A AXE VER- TICAL ET DONT LES GËNËRATSICES SONT INCLINËES A ^5°,

Principe de la méthode d'intégratiou.

1. Considérons !a formule (G) et cherchons une fonction \(x,y, z) telle que

telle que V soit nulle sur un cône A à 45", de sommet A,

Fig. :.

Nous sommes alors certain que, sur A, l'on a dV d'après notre théorème.

lO H. D ADHEHAR.

(MM. Volterra et Coulon étaient obligés de faire un calcul pour s'en assurer.)

En plus, \{x, y, z) sera infinie sur l'axe vertical AV.

Dans ces conditions, si l'on applique la formule (G) au volume

marqué par des hachures, si « et tj^ sont donnés sur S, la formule (G)

se réduira à une intégrale simple étendue de A en P égalée à un terme connu.

Une inversion donnera u(A).

Intégration.

Soit A :(a7j,j>'of 2b), soient

/^ = a;'*-t-y ; soit

Cherchons une fonction V= ç(6). L'on a

v=T=iog[î:+^/(fyr^],

V est bien nulh sur le cône A, qui a pour équation

Soit r = e l'équation du cylindre vertical F, de rayon infiniment petit. La formule (G) donne

-///vF(.,^,.-)*=//(„-.V-).».

Or

SDR UNE CLA.SSK D BQUA.TIOHS AVX OKBIVKES PARTIELLES.

(a étant l'angle polaire) et comme

lim(Vx£)=o,

ce terme est nul à la limite.

Puis, sur r, l'on a

et u est fonction de z seul. On a donc

lim / j u^d(a = lim / / . .. .i- , — u(x^,y^,z)rdTdz

= 21Î / u(^Xf„y^,z')dz.

D'où

Par inversion,

Et c'est, établie plus rapidement, la formule donnée par M. Volterra [formule (2) de la page i83)].

2. L'énoncé du théorème (p. 184) manque de clarté en ce qu'il y est question de dérivée normale. Nous énoncerons ainsi le théorème

DE M. VoLTKBRA !

Si un cône à 45", ayant un point A pour sommet, découpe d'une manière unique et intérieurement une surface £, sur laquelle sont données les valeurs de l'intégrale et de sa dérivée conormale, l'on peut obtenir la valeur de l'intégrale en ce point A.

Ce qui a été dit dans l'Introduction (n" 2) donne le complément suivant :

Théorème complémentaire. — Pour toute portion de la sur/ace S

B. D ADHEMAB.

quia le caractère desurface privilégiée, le fait de donner la valeur de l'intégrale est nécessaire et suffi.sant.

Ces surfaces privilégiées jouent, dans l'intégration de A(u) = F, le rôle que jouent les droites caractéristiques x± y = const. dans l'intégration de

5^, -3r^=M^-r) ou ^-^=$(ar,y),

rôle mis en lumière, d'une manière immédiate et sans aucune hypothèse sur la nature, analytique ou non, des fonctions, par M. E. Picard, dans une courte Note (').

La forme du terme connu

montre que l'intégrale u(a7,,Xo, s^J peut être regardée comme la somme de deux intégrales, la première satisfaisant à

avec les conditions imposées sur £ ; la deuxième satisfaisant à

avec des doDoées nulles sur £. Mais lorsque nous connaissons ainsi la forme analytique de u{xt,y„,z^), il nous reste encore un travail important à faire.

L'on ne peut, en effet, affirmer a priori la réciproque du théorème qui vient d'être énoncé. M. Vollerra n'a pas étudié l'intégrale et ses dérivées, et c'est ce que nous devons faire maintenant afin

(' ) Bulletin des Sciences mathématiques, 1899, Voir aussi les Leçons sur la théorie générale des surfaces, t. H, par G. Darboux.

SUR UNE CLASSE D^ÉQUATIONS KVX DÉRIVÉES PARTIELLES. t3

de reconnaître si l'intégrale trouvée est une solution du problème, c'est-à-dire si sa valeur au point (^'oiX»'^») *^"*^ ^*™ ^^ valeur donnée u,,, lorsque le point (a^^, y,, z„) tend à se confondre avec le point (i) de S (où la valeur donnée est u,).