OL
oTd*
DT<f
les lacets ^ et a décrits dans le sens rétrograde et le lacet ^ décrit dans le sens direct. Comme au lacet ^ correspond la substitution ^1, on a
On retrouve bien ainsi la substitution de M. Picard
Sk==
Sî =
R. ALEZAIS.
37. Rotation de B autour de a. — En faisant tourner le point B autour de a
Fig. i5.
dans le sens rétrograde, on obtient Xc^Jig. i5, qui donnent
A', =— pa— «»-i-?«-Ha3- pi-hYt+33= A,-f-(Xî-'X)A,-+.(X*- X)A3,
A', = p,-4-?3-4- ai+ ?2-hY3-p3-aî=(X*-- i)A,-f-XîAs,
d'où
^ =,l-(X»-i)v' + (X«— X)a, Al
Al
^ i-H(Xï— i)p-f-(X«— X)m' (X — i)p-+- X^z/
n-(X«— Ot'H-CX»— X)a'
Sfi =
o I ^ y SJ = |o I ^»
Sî-i
En procédant comme au n** 29, on trouve
SeSi Sj = Sg SeSi, SsSiS6= SiS^Ss.
38. Parmi les substitutions précédentes, celles qu'il semble plus naturel de choisir comme substitutions fondamentales sont
Siï Si, Sj, 5^, Sj, Se,
SUR UNE CLASSE DE FONCTIONS HYPERFUCnSTENNES. 35 •
parce que les déplacements des points critiques relatifs à cliacune d'elles s'efTectuent suivant des lacets ne rencontrant chacun qu'une seule ligne de passage. Toutefois, on pourrait d'abord leur substituer leurs carrés ou substitutions inverses; on peut aussi, sans inconvénient, remplacer S,, S'^, S^ respectivement par S3, S4, S3.
Le point de vue géométrique seul considéré jusqu'ici n'établit aucune différence entte nos six substitutions; pour aucune d'elles on ne peut imaginer une combinaison des circuits des autres qui soit géométriquement équivalente à son circuit. Toutefois, il ne suit nullement de là qu'il ne puisse exister une combinaison des circuits des autres qui fournisse les mêmes périodes que son circuit; s'il en était ainsi, il est clair que la substitution ne serait plus fondamentale. Nous allons voir qu'il y a raison de croire qu'un fait de ce genre se produit pour So-
Ainsi que M. Picard l'a établi au Tome V des Acta Mathematica, le groupe des fonctions x ei y n'admet pour substitutions fondamentales que nos cinq premières substitutions; elles s'obtiennent en faisant tourner ^ et j^ autour de chacun des autres points critiques. Si donc Sq appartient au groupe des fonctions X Qi y c'est qu'elle donne mêmes périodes qu'une combinaison des cinq premières. Or, en réalité, So fait bien partie de ce groupe; je l'établirai dans la quatrième Partie en montrant qu'effectivement les fonctions x e\,y restent invariantes quand on opère sur u et v\di substitution Sq. Il est à remarquer que la fonction modulaire présente un fait entièrement semblable. Soient A, B, x ses trois points critiques, A et B coïncidant primitivement avec o et i; le groupe n'a que deux substitutions fondamentales; elles s'obtiennent en faisant tourner x autour de A et autour deB; soient S et T ces deux substitutions. Quant à la substitution U obtenue en faisant tourner A autour de B (ou B autour de A), son circuit n'est pas géométriquement équivalent à une combinaison des circuits des deux premières et cependant une combinaison des circuits de S et de T donne les mêmes périodes que le circuit de U; on a
STU=-i, U= — T-JS-«.
Je n'ai pas réussi à trouver une relation analogue entre Se et les cinq autres substitutions-, par suite, j'ai trouvé commode, après avoir réservé, ainsi que je viens de faire, la question théorique, de traiter pratiquement Sq comme fondamentale.
J'appellerai S le groupe des substitutions (32).
