II. — Groupe des substitutions semblables de F

39. Nous avons vu (n*** 7 et 21) que les fonctions 6 qui figurent dans les expressions des fonctions hyperfuchsiennes x el y ne sont définies que pour les

'i() R. ALEZAIS.

sjsttmes de valeurs de u et de ç qui rendent négalive Texpression

Ainsi le poinl (u^ p) est assujetti à rester à Tintérieur d'un certain domaine. M. Picard a montré que les transformés par les substitutions du groupe S des points de ce domaine en font aussi partie. On vérifie, en effet, facilement que chacune des substitutions (Sa) reproduit z^ai + (^ + (^i divisé par la norme du dénominateur de la substitution, c*est-à-dire par une quantité essentiellement positive. Si Ton prend les substitutions sous forme homogène en introduisant une troisième variable w, on arrive à un résultat plus simple : les substitutions S transforment en elle-même l'expression uUi -♦- ç' 4- <^i rendue homogène, c'est-à-dire la forme

F = uui -4- vwi 4- vi w.

11 est naturel de se demander si le groupe S coïncide avec le groupe des substitutions semblables de F, ou s'il ne forme qu'un sous-groupe de ce groupe. L'analogie avec la fonction modulaire elliptique porte à croire que ce n'est qu'un sousgroupe. De plus, elle suggère une méthode d'investigation. Les substitutions effectuées sur u, p, çv qui correspondent aux mêmes valeurs de ^ et de ^ transforment F en elle-même quand les quatre points critiques A, B, C, D sont A = a, B = ^, C = Y> D == S. Il doit en êlre encore de même quand les points A, B, C, D coïncident avec a, |3, y, 8 dans un autre ordre. En d'autres termes, les substitutions que subissent u, Vj w quand les points critiques s'échangent entre eux, doivent transformer F en elle-même. C'est ce que nous allons constater en calculant ces substitutions.

Comme plus haut, je prends la courbe sous la forme (i) ; a, p, y, 3 sont quatre points quelconques, mais fixes dans le plan; les points critiques sont A, B, C, D; ils sont assujettis, au commencement et à la fin de chaque déplacement, à coïncider avec a, p, y, 8, au moins à l'ordre près.

40. Si nous convenons de lire les quatre lettres A, B, C, D dans l'ordre dans lequel les points correspondants coïncident avec a, p, y, 8, il s'agit d'effectuer sur A, B, C, D toutes les permutations possibles; mais l'on sait que l'on peut passer d'une de ces permutations à une autre quelconque en combinant trois transpositions de deux lettres. Notre groupe aura donc trois substitutions fondamentales. Je choisirai celles qui échangent B et C, C et D, D et A.

41. Dans chaque cas, je suppose que les deux points critiques échangent leurs positions en sens rétrograde c'est-à-dire qu'ils suivent des chemins formant ensemble un contour fermé et qu'ils parcourent ce contour dans le sens rétro-

SUR UNE CLVSSE DE FONCTIONS HYPERFUGHSIENNES.

grade. Pour mieux préciser les résultats, je fais décrire à Tune des lignes de passage une aire tout entière extérieure à ce contour fermé; l'autre ligne de passage décrit cette même aire extérieure et l'aire intérieure.

42. Échange de B ef C. — Le résultat de cet échange est représenté par

Fig. i(^.

la fig. 16. On en déduit

A„ Pi-t- Yj-+-Ti

= — Pj— Pi — y« = — ^A,.

On a donc

On voit facilement que cette substitution a pour période 6 : TJ= 1; par suite rj= T7* s'obtient en échangeant les deux points en sens direct.

43. Echange de C etlù. — Il est représenté par \^ fig, 17 qui donne

a; =-8,-p,-a, = - A,-f-A,-XîA„ Ai =3i-+-p,-ha,= A,-XA,.

D'où

R. ÂLEZAIS.

p' = Xï-+-()4- Xm, a'= I — X«.

Fig. 17.

Cette substitution a aussi pour période 6.

44. Echange de A e^ D. — On obtient une substitution particulièrement

Fig. 18.

simple, en supposant que le contour fermé formé des deux chemins contient à son

intérieur les points y et p. La fig. i8 réalise ce cas ; on en déduit

A', = a» + Pi-l-Yt=— XA„ A', = — Yi — Pi — 3j = — Al,

Ai= ?j-l-Pi + T«=^Aj,

Cette substitution, comme les deux précédentes, a 6 pour période.

45. On remarque que l'on a TJ== S«, Tj= S2. Il est facile de construire des substitutions, combinaisons de T|, T2, 6 et a^ant pour carrés les autres substitutions S étudiées plus haut. II suffit pour cela de déformer la courbe relative à chacune de ces substitutions S en la faisant passer par les points critiques près desquels ou autour desquels elle passait, de manière à la décoinposer en segments réunissant ^ et y ou y et 8 ou S et a. En introduisant de plus des segments auxiliaires décrits par les points critiques intermédiaires et formant ensemble des courbes fermées qui ramènent ces points à leurs positions initiales, on peut toujours supposer que pendant qu'un point critique va d'un premier point fixe à un second, le point critique qui était au second point fixe se transporte au premier; on obtient ainsi une succession des trois substitutions T^, T2^ 6 qui a pour eflet d'échanger les deux points mobiles extrêmes.

Si l'on effectue deux fois de suite les mêmes constructions, ce qui revient à prendre le carré de la substitution, les deux points critiques reprennent leurs positions initiales, et tout se passe comme si chacun d'eux avait eflectué une rotation autour du point fixe relatif à l'autre. Ce déplacement simultané correspond à la même substitution que si l'un seulement des deux points avait tourné autour du point fixe de l'autre. Je désignerai ces substitutions dont le carré est une substitution S par la lettre T affectée d'un indice indiquant celles des substitutions S qu'elles ont pour carré. Ces substitutions T ont 6 pour périodes; on trouvera plus loin réunies ensemble leurs valeurs et celles de leurs puissances.

46. Substitution T3. — La première des Jig. 19 représente le chemin relatif à Sj; les deux autres figures indiquent deux manières différentes de le déformer.

/lO

R. ALEZAIS.

Dans ces figures, comme dans celles qui suivent, les numéros indiquent les segments qui doivent être parcourus ensemble pour obtenir la série des substitu-

Fig. 19.

vr-^

/Il

tions Tf, T2, 6 qui reproduit la substitution considérée. Dans le cas actuel, le résultat final est l'échange de B et D; on est immédiatement conduit aux résultats suivants faciles à vérifier :

Ta= T,T,Tî = T}T,T„ S,= Tî= T,TîTî= Tf T{T,.

47. Substitution T'3. — hes fig, ao représentent le contour relatif à S3 et

Fig. ao.

olP

otô

Bfô

deux manières de le déformer. Il en résulte

On a aussi

Ti = T}T,T, = T,T,Tî, S', = T;» = TîTîT,= TiTJTf

2, = S,Si = T,T}T,.

48. On remarque entre les substitutions T^ et T2 des identités que Ton peut écrire

T,T,T, = T,TiT,, T,TiTî = T|T,T„ TîT,T, = TjT,TJ.

Elles se ramènent à la première, (33) T,T,Ti = T,T,T„

car celle-ci, appliquée aux identités évidentes (T2T,T2)T| = Ï2(ï, T.jT, ), ou

SUR UNE CLASSE DE FONCTIONS HYPERFUCflSIENNES. 4^

T|(T2T|T2) = (T| T2T«)T2 reproduit les autres. Notons encore

qui se déduit de même de

(T,T,)' = (TtT,T,)(T,TiT,).

La relation (33) est analogue à la relation connue (ST)' = i qui ei^iste entre les substitutions fondamentales du groupe modulaire.

49. Substitution T^. — C'est la substitution qui résulte de l'échange de A et D suivant des chemins provenant du contour de S\. Ce contour est un lacet issu de D et ne coupant que la ligne de passage de À; sa déformation est immédiate, il

Fig. ai.

suffit de le faire passer par A. Pour évaluer cette substitution en fonction de T,, Ta, ©, je considère le contour relatif à (première yî^. 21) et je remarque qu'on peut le modifier, comme l'indique la deuxième fig. 21; il en résulte

d'où

S4 = T;» = (TîT}T|e)».

50. Substitution T4. — hes fig. 22 représentent le contour de S4 et la ma-

Fig. 22.

o|8 aTô'^

nière de le déformer. Il en résulte

Tv = eT;e»= eTjT}T|,

R. ALEZAIS.

on a aussi

S4=Tl = (eT»T}T})»;

2,= S42, = eT5T}T|e.