A1.F.7.4IS

«te

lî

qjj.

•te

ir-*

•te

tf)

Ml*

pi"

Trt

•te

-tf

jM^

56. Il est évident géométriquement que le groupe S est un sous-groupe du groupe engendré par T|, T2, ou groupe T. En effet, les substitutions S provenant de déplacements des points critiques tels que les positions finales de ces points sont identiques à leurs positions initiales, il en est de même pour toutes les substitutions du groupe qu^elles engendrent; or ce n'est pas le cas pour les substitutions T. Il est clair d'ailleurs que le groupe T contient le groupe S.

A ces conditions géométriques correspond un fait analytique qui distingue les substitutions S des autres substitutions du groupe T. Les substitutions S sont de la forme

H-/n|(i — X) mi(i — X) m3(i — X)

/ii(i — X) i-h/ii(i — X) ^3(1 — X) /7i(i — X) ;,,(,X) 1^^,(1 — X)J

où les m, n^ p sont des entiers complexes. En d*autres termes, les substitutions S sont congrues à la substitution unité, selon le module i — X. On voit, en effet, que dans chacune des substitutions S les éléments de la diagonale sont ou bien i, ou bien une des quantités

les éléments hors de la diagonale sont ou bien o ou bien une des quantités

dfc(i — X), i!i(X«— i) = dtX»(i — X), ±(X — X«)=±X(i~X).

D'ailleurs, il est facile de voir que si deux substitutions vérifient ces conditions, il en est de même de leur produit; ces conditions caractérisent donc bien le groupe S. Enfin, elles ne sont pas réalisées pour les substitutions T; en effet, dans T|, le dernier élément de la diagonale est — a = — i -+-(* — '0? P*'' suite T|

est congrue à 1 o 1 o 1 et non à la substitution unité; quant aux autres sub-

stitutions T, elles contiennent toutes des éléments hors de la diagonale qui ne sont pas multiples de i — X.

57. Le groupe S est donc un sous-groupe à congruences du groupe T; il en résulte que c'est un sous-groupe invariant. On peut, pour le voir, raisonner comme dans le cas des congruences à module réel. S étant une substitution du groupe S et T une substitution T, il s'agit de prouver que l'on a

TsST = TS (modi-X),

car il en résultera immédiatement

T-» ST s S ^ I ( mod i — X ).

Or, l'élément (/, k) du produit, qu'il s'agisse de ST ou de TS, est une somme

46 R. ÀLEZAIS.

de termes qui lous, sauf un, sont multiples de i — X comme contenant en facteur un élément de S pris hors de la diagonale; l'élément (i, k) du produit est donc congru (mod i — X) à ce terme 'unique ; celui-ci est le produit d'un élément de la diagonale de S qui est congru à i, par l'élément (/, k) de T; l'élément (i, k) du produit est donc bien congru à l'élément (/, k) de T; le produit, quel que soit l'ordre dans lequel il a été effectué, est donc bien congru à T.

58. Le groupe T admettant le groupe S comme sous-groupe invariant peut être subdivisé en classes, les substitutions d'une même classe étant congrues entre elles (mod i — X); il suffit, pour cela, de trouver un système complet de substitu* tions T non congrues entre elles et de multiplier successivement par ces substitutions celles du groupe S.

Je remarque d'abord que le nombre des classes de nombres incongrus (mod I — \) est égal à norme de (i — X) = 3 ; je prendrai pour représentants de ces classes — '^ o, i. Chacun des 9 éléments de la substitution pouvant être congru à chacun de ces 3 nombres, on a 3*^ substitutions incongrues entre elles (mod i — X). Je vais étudier : T' celles qui correspondent à des échanges des points critiques entre eux et qui, par suite, appartiennent au groupe T; 2*^ celles qui sont compatibles avec les conditions qui expriment que la substitution, supposée homogène, transforme en elle-même la foi me F. Je serai ainsi amené à déterminer si le groupe T coïncide avec celui des substitutions semblables de cette forme ou s'il n'en est qu'un sous-groupe.

59. Le groupe T contient, au maximum, autant de substitutions incongrues selon le module i — X qu'il y a de permutations des quatre lettres A, B, G, D, c'est-à-dire 24* En effet, les divers chemins que l'on peut faire suivre aux points critiques pour passer d'une permutation P{àune autre permutation Py peuvent se ramener à l'un d'eux précédé et suivi d'une série de lacets; les substitutions correspondantes se déduisent donc de l'une d'elles en la multipliant à droite et à gauche par des substitutions du groupe S. Toutes les substitutions qui font passer d'une permutation déterminée P/ à une autre Py appartiennent donc bien à la même classe. 11 suffit de construire des substitutions permettant de passer de la permutation ABCD à chacune des autres pour s'assurer que le groupe T contient bien en réalité vingt-quatre classes incongrues, selon lé module 1 — X.

GU. Le Tableau suivant contient un représentant de chacune de ces classes et les substitutions ayant pour éléments — 1^0, i auxquels ils sont congrus. J'y ai ajouté les transformations correspondantes de x et y Nous avons vu que par le changement de variables

on passe de la relalion (i)

à la relation (i i)

Je pose maintenant, en considérant A, B, C, D comme les points critiques mobiles d'abord en coïncidence avec a, ^, y, S,

et j'écris

^' p-at' •>''■- P a' (1 = 1,2,. ..,24).

Quand Â, B, C, D échangent leurs positions, Xi et yi deviennent des fonctious linéaires de x eiy que j'ai inscrites dans le Tableau suivant :

ABGD

ACBD