DEÇA
DCBA
TiBrr
ABDC
o 1 o I s I o I o 1 1 oo — Xj l^oo — \ }
X* o o I SE I I o <> I >
o o -— X*J l^oo— ij
AGDB
DBAC
(Il I " I o o , I o -I,
Xi =
Xt =
yt = y^ = r* =
Xi =
7« = yt =
yy
R. ALEZAIS.
DGAB
A DBG
ADGB
DABG
DAGB
GBDA
BGDA
GBAI)
BGAD
GDBA
UDCA
T,eT,=
IX* o o I = I i o o I ,
T,eTîTi =
[I o o ^ ^ 1 o o ^ Xi I -x* ^ « ' ~' r — X o — I J l, — i o — I J
(X X» ~X^ 1^ I « — O X* o o I =1 I o o I, -X* o — xj t — « o --«J
X* X X* ^ I I il, o X« — XîJ l^o I — ij
T,Tje =
T,eTie =
loX ol =loi ^1»
= lo X ol ^i^ ' ^1* l^o— XXj I^Ot-iiJ
TjeTi =
T,TjeT, =
rs
ri
yi
ri 6
ri8 =
1 — JF
i-or'
ar — I
ar— J^
1 — ar
r"=D^rG =
CABD
BACD
BDAG
CDAB
BADG
eT,eT,=
T,eT,eT,=
TjeTiT,e =
T,T,eT,T,e=:
eT,eTiT,e =
CADB T,eT,eT,T,e =
-X« X* X«-xJ L-i 1 o J
Xu =
61. Les représentants des vingl-quatre classes peuvent être groupés de la manière suivante
o i o , I I I I j, I I i — I j, Il I L I I I i I I I , — I .
^o o ej l^e o — ej ^e o t } |^o e — ej ^o e e J |^e — e o ^
Chacun de ces Tableaux représente quatre substitutions dont on obtient les coefficients en prenant les deux premières lignes dans Tordre où elles se trouvent ou dans Tordre inverse et en donnant à e les valeurs ± i. Les s^rmboles de ces substitutions sont
I, T„ T,T„ T,e, T,eTt, T,eT,T,e,
T„ TjT,, T,T,T,, T,T,e, T,T,eT„ T,T,eTiT,e,
e, ex,, eT,Ti, eT,e, eT,eTi, eT,eT,Tje,
T,e, TiOT,, TieTjT,, T,eT,e, T,eT,eT„ T,eT,eTiT,e.
On peut d'une manière toute semblable grouper ces substitutions d'après les
colonnes
R. ALEZÂIS.
II e 1, Il » « » I ' ° ** r I ° ° r I ' ' "
^i o — ej l^ — I o zj Li o - ej L — ' o ^) k — ' '
Ici ce sont les deux premières colonnes qui doivent être prises dans Tordre où elles sont et dans Tordre inverse. Les symboles correspondants sont maintenant
ex,,
x,ex„
x,ex,x„
eT,T„
x,ex,x„
x,ex,x,x,,
ex,©,
x,ex,e,
Xjex,x,e,
eT,.
T.eT,,
T,T,eT,,
ex,6X„
x,&x,ex„
x,ex,x,ex,
62. Il est à remarquer au sujet des Tableaux (I) et (II) que, si dans chacun d'eux on supprime les colonnes extrêmes, les Tableaux carrés à quatre lignes et quatre colonnes qui restent se déduisent Tun de Tautre en changeant les lignes en colonnes et les colonnes en lignes. Toutes les »ubstttutions qui y figurent ont pour premier mineur de leurs Tableaux
on ceux que l'on en déduit en échangeant les lignes ou les colonnes. Les premières colonnes des Tableaux (I) et (II) sont identiques, car
eXi = x,e;
les premiers mineurs so»t à l'ordre près des lignes
Enfin, les dernières colonnes des Tableaux (I) et (II) représentent à l'ordre près les mêmes classes. Ce fait, conséquence de ce qui précède, peut être vérifié de la manière suivante. Je remarque que pour l'une quelconque des substitutions de ces colonnes, par exemple, pour
il revient au même d'échanger les deux premières lignes ou de changer les signes des éléments de la troisième colonne; d'échanger les deux premières colonnes ou de changer les signes des éléments de la troisième ligne; en conséquence, il
SUR UNE CLASSE DE FONCTIONS HYPERFUCHSIENNES. 5l
revient au même (mod i — \), de multiplier à gauche par 6 ou à droite par T(, à gauche par T4 ou à droite par 6. (1 en résulte les congruences suivantes
T,(TteTiT,e) s (T,eT,T,e)e ^ T,eT,T,
e(TjeTiT,e)s(TjeT,T,e)T, (modi — X).
T,e(T,eT,T,e)s(T,eT,T,e)TiesT,eTiT,e»TisT,eTiT,T,
Quant au premier mineur, il est pour toutes les substitutions de ces dernières colonnes
63. Le Tableau suivant représente les transformations de la surface de Riemann parles vingt-quatre substitutions prises dans Tordre du Tableau (II). Il résulte de la règle adoptée (n^ 24) pour le produit de deux substitutions S/ et Sy que l'on a
S/Sy(a, p) = S,[Sy(a, p)].
Par suite, pour obtenir la figure relative à S/Sy, on peut commencer par effectuer sur la figure initiale les déplacements relatifs à Sj, puis, sur la figure ainsi obtenue, on effectuera ceux qui concernent Sy.
Chaque figure correspond exactement à la légende qui l'accompagne. On peut, en procédant comme je l'ai expliqué au n*^ 45, la considérer comme résultant d'une série d'échanges des points B et C, C et D, D et A, effectués dans l'ordre des lettres et tous en sens rétrograde. Considérons par exemple la figure qui a pour légende TiT^T,, elle fournit les périodes suivantes
A'i = Al,
A; = — (ai-l-Y«-^53) = — • Ai-f. A,-h A3,
A'3= SiH-Yï-h5| = — XAi — A,.
D'où l'on tire
c'est la substitution
X» I -X« = t-X -rj
Pour obtenir TaurTy^TaT, il aurait fallu effectuer le premier échange dans le sens direct, pour TjrrrTiTjT;* c'est le troisième échange qui aurait dû être effectué dans le sens direct.
et.
i" 'il
lïl
. viy /
54 R- ALEZAIS.
64. Les vingt-quatre quantités Xi sont, à l'ordre près, identiques aux vingtquatre quantités ^1*. Toute fonction symétrique de ces vingt-quatre quantités est une fonction hyperfuchsienne des variables u eX. s? admettant pour groupe de substitutions le groupe T. Ainsi, en faisant le produit des transformées de i + ^r par les vingt-quatre substitutions, on trouve la fonction invariante suivante
((n-ir)(2 — a?)(i — 2a:)(i-+-7)(2-7)(i — 2>')(ar-+-7)(aar— j'Xar — 27) )* j ^ \ x[(j^-~l)-4-(^--jr)][2(^ — I) — (J^ — ar)][(7 — i)^2(j^ — j?)] [ ^
On peut l'écrire *""[ ar(i — a?) J | y^^—y) J L ^ykx—y) J
ou, d'après une transformation connue,
ou enfin
Ji=3>*(4Jt.ar-i)(4Ji,r-0(4Jx,r-0(4Jr-i.r-*-i),
en désignant par
l'invariant elliptique écrit sous forme homogène.
]\{ais, de plus, toute fonction symétrique des quatre quantités Ji,^, J|^^., J^,^, J;.4,j a?, par exemple
est aussi une fonction hyperfuchsienne ayant T pour groupe. En effet, on constate aisément que si les quatre fonctions du second membre sont écrites dans l'ordre indiqué, les substitutions T|, T2, 6 et par suite toutes les autres ne font que leur faire subir les mêmes permutations qu'aux quatre lettres A, B, C, D.
65. Il me reste à déterminer quelles sont, parmi les 3^ classes de substitutions linéaires incongrues (modi — X), celles qui peuvent transformer en elle-même la forme F.
Le Tableau des coefficients de la substitution étant
IM, P, R,1 M, P, R, M, P, rJ
et {A, m, p désignant les quantités conjuguées de M, P, R, les conditions pour qu'il en soit ainsi peuvent s'écrire des deux manières suivantes :
M,OT,-t- P»(l»-t-R3Pj= I,
Ml iB| -H Pj ni -H Ri pi = a, M,wi-l- P»tij+ R,pj= o, MiWj-4-Pi(i,-H Rip] = o, MiOTj-+- P»(ij-i- RjPj= et;
M|T3i-4- Mjmi-f- MsV3= ï, Ri Pî -4- Rtpi -+- Rapj = ï, Ml (Xj -4- M, fil -f Ma fX3 = o,
PlTîTj -h PjnJi -h Ps^Tj = O,
Ri fil H- Ri fx, -f- Ra ji, = o, Ri Wi -+- Riiîfi -+- R3 Wj == o.
Ces deux groupes équivalents de conditions s'obtiennent en exprimant que la substitution proposée et son inverse transforment F en elle-même. Je les étudierai plus en détail dans la troisième Partie, au sujet des substitutions d'ordre k.
66. Le second* groupe d'équations se déduit du premier en échangeant les lignes et les colonnes dans le Tableau des coefficients; par suite, toute propriété déduite du premier groupe d'équations pour les lignes appartient aux colonnes en vertu du second groupe d'équations.
Supposons, dans toutes ces équations, chaque élément remplacé par celui des nombres — 1 9 o, i auquel il est congru (mod i — à) et voyons dans quels cas ils satisferont à ces conditions envisagées comme des congruences selon ce module.
Je remarque d'abord que deux quantités conjuguées l'une de l'autre appartiennent à la même classe (mod i -^ X); car A étant une quantité convenablement choisie et a sa conjuguée, enfin e désignant dii, toute quantité peut s'écrire A(i — X) ou A(i — ).)+£ et sa conjuguée est a(i — X*) ou a(i — X*) + e.
67. Ceci posé, on obtient immédiatement les résultats suivants :
Pour toute ligne ou colonne, les trois éléments ne peuvent être nuls à la fois, car s'ils l'étaient, l'une des deux premières équations ne pourrait être vérifiée;
Pour chacune des deux premières lignes on colonnes,
Si le troisième élément est nul, Tun des deux premiers l'est aussi ; sans cela (3) ou (4) ne pourrait être vérifiée;
Si le troisième élément n'est pas nul, il faut, en vertu de ces mêmes relations, que les deux premiers ne le soient pas non plus, car autrement leurs premiers membres seraient congrus à i; il faut de plus qu'ils soient égaux, c'est-à-dire
56 R. ALEZAIS.
tous deux -h ij ou tous deux — i; car, sans cela, les premiers membres seraient congrus à — i .
En conséquence, les deux premières lignes ou colonnes appartiennent à Tun des types suivants où c et e' égalent ±: i, indépendamment l'un de l'autre
68. Pour que deux lignes ou colonnes vérifiant ces conditions puissent former ensemble les deux premières lignes ou colonnes d'une même substitution, il faut encore ;
i^ Que les deux ne soient pas identiques et que l'on ne passe pas de l'une à l'autre en changeant tous les signes, car dans ces deux cas le premier membre de (i) serait congru à zéro ;
2^ Que si Tun des deux premiers éléments de l'une des deux lignes ou colonnes est nul, l'élément correspondant de l'autre ligne ou colonne ne le soit pas. En effet, l'un des deux premiers éléments étant nul, le troisième l'est aussi; s'il en était ainsi pour les deux premières lignes ou colonnes, et si les deux avaient
les mêmes éléments nuls, le premier membre de (i) serait congru à zéro;
[M P ^ * I qui ne sont pas nuls,
aient le même signe. En effet, les seules combinaisons possibles en vertu de ce qui précède sont les suivantes, à l'ordre près des lignes,
[eoo"1 reool Tosol Têe ^'1
o 6' oj' le' 6' t'y le' e' e'J' le' e' — eevj'
Si l'on n'avait pas e'= e, le premier membre de (i) serait congru à — i. Dans le dernier Tableau, avec e = s', changer le signe de e" revient à échanger les deux lignes. Les seules combinaisons possibles sont donc, à l'ordre près des lignes,
re o 01 p o o1 ro e ol Te e e 1 1^0 6 oj te £ 6j l^e e ej \^t e — 6j
Et comme ceci vaut pour les lignes et pour les colonnes de la substitution, on est ramené, à l'ordre près des deux premières lignes et des deux premières colonnes, aux trois Tableaux suivants :
Iêoo^ j'eoo^ ^ o 6 o L I e e e' 1,
