Il reste à déterminer R3. Or

1° En vertu de (a), si l'un au moins des deux premiers éléments de la troisième ligne ou colonne est nul, il faut que Rs ne le soit pas; si les deux premiers

éléments ne sont pas nuls, comme ils sont de signes contraires, il faut que R3 le soit; ainsi, pour le premier Tableau, Rj = s'; pour le deuxième, R3 = e'"; pour le tix)isième, R3 = o ;

2^ En vertu de (5) ou (6) dans le cas du deuxième Tableau, c'est-à-dire quand une et une seule des deux premières lignes ou colonnes n'a aucun élément nul, il faut que si les trois éléments de cette ligne ou colonne sont de même signe, les deux éléments non nuls de la troisième ligne ou colonne ne le soient pas et vice versa; il faut donc que Ton ait e'"==: — ee'e''.

70. On est finalement conduit aux trois Tableaux suivants, dans lesquels on peut permuter soit les deux premières lignes, soit les deux premières colonnes,

oEoLlee s' pl^ ^ — ^* o o e'J l^c* o — E&'e'J i^c — £ o ^

Le premier de ces Tableaux contient deux e indépendants, mais l'échange de ses deux premières lignes produit le même effet que l'échange de ses deux premières colonnes; le dernier ne contient qu'un seul t indépendant; chacun de ces Tableaux fournit 8 classes de substitutions; celui du milieu contient trois t indépendants, il fournit 82 classes de substitutions. Il y a donc au plus 48 classes de substitutions pouvant transformer F en elle-même. Les représentants de ces 48 classes peuvent s'écrire à l'ordre près des deux premières lignes et avec e =di i,

Nous avons effectivement trouvé des substitutions appartenant aux 24 classes de la première ligne; il en existe aussi des 24 classes de la seconde ligne, car celles-ci se déduisent des premières en changeant tous les signes, ce qui ne peut empêcher les conditions écrites plus haut d'être réalisées.

71. Je dis que les substitutions de la première ligne forment un groupe indépendant de celles de la seconde ligne. Pour le prouver, il suffit de montrer que, si

pour deux substitutions D et D', le premier mineur * * 1 a ses éléments

congrus à o ou i, il en est de même pour le produit DD'. Ceci résulte des propriétés des deux premières lignes ou colonnes indiquées plus haut. Eu effet, si A. 8

58 R. ALEZAIS.

dans Tune des deux premières lignes de D, Tun des deux premiers éléments est nul, le troisième Test aussi; par suite, dans sa combinaison avec l'une des deux premières colonnes de D', le seul terme non nul sera le produit d'un élément du premier mineur de D par un élément du premier mineur de D', les éléments correspondants de DD' seront donc bien congrus à o ou i (mod i — X).

Si les deux premiers éléments de la ligne de D sont différents de zéro, ils sont tous deux égaux à i et le troisième n'est pas nul; si la colonne de D'avec laquelle on combine cctie ligne de D a un de ses. deux premiers éléments nul, le résultat est le même que dans le premier cas; sinon, la colonne a aussi ses deux premiers éléments égaux à i et le troisième à iti i; l'élément correspondant du produit est congru à une des quantités suivantes

1X1-1-1X1-1-1X1=0, ixi-hixi-t-( — i)x( — i) = o, lXl-hIXI-f-( — i)xi = i.

Le premier mineur de DD' a donc bien, dans tous les cas, ses quatre éléments congrus à o ou i .

a. En résumé, le groupe S est un sous-groupe invariant d'indice 2^ du groupe ï qui est lui-même un sous-groupe invariant d'indice a du groupe total des substitutions semblables de F.