III. — Étude d'un sous-groupe particulier
73. Parmi les substitutions qui transforment F en elle-même, il en est qui jouent un rôle particulièrement important dans les travaux de M. Picard. On peut les définir de la manière suivante :
Posons d'abord
d'où
M«i -h vw^ -h Vx w = xxi -h yyx, — zz\.
A toute substitution linéaire
(a) (a, i-, IV, mu -\- nv '\- pw ^ m' u -^ n v -h p' iv ^ ni" u -\' n" v -k- p" w )
eflTecluce sur u^ r, w correspond pour x, y^ z une autre substitution linéaire
(?) i^sy.z, kx^Xiy-^Cz, \'x^VVy^C'z, X" x -^ W y -{- C: z).
Considérons maintenant une forme linéaire et homogène en x^ y^ z\ soit
Effectuer la substitution (^) sur jc, y^ z revient à effectuer sur X, Y, Z (Y) (X, Y, Z, AX-f-A'Y-f-A'^Z, BX -h B'Y -i- B'Z, GX -+- G' Y -}- C'Z).
SUR UiNE CLASSE DE FONCTIONS HYPERFUCHSIENNES. 09
Enfin, posons
à la subslilution (y) correspondra pour ces nouvelles variables
^^ V' C5-+-G'ïi4-G'' "GJ-hG'r, -rCV'
Ç et 7i étant ainsi reliés à w, (>, iv, les substitutions particulières (a) que je vais considérer sont celles qui transforment en lui-même le point
Ces substitutions forment un groupe, je rappellerai le groupe R. 74. Pour déterminer la forme de ces substitutions, posons
GJ-HG'/i-hG" • GJ-hG'r, ^G''
il en résulte
A$-4-Aïr,-n)-hA'^-A' , (B-hG); ^(B'-hC)(T, h- i) h- ir-i-G'^- Fr- G'
^ ~ GÎ-hG\T,-hi)-^-G'-G'' ^*-^'- c$-4-G'(r, -f-i)H-G'— G'
Pour que Ç = 7^ 4- 1 = o entraîne 5'= t/+ 1 = o, il faut d'abord C — C';^ o; comme on peut multiplier les deux termes de chaque fraction par une même quantité, nous pouvons poser G" — C'= 1. Il faut ensuite
A"— A' = o, B'-h G'- B'— G' = o; on a ainsi
^ G$H-G'(Yi-hi)-hi' ""* G$-+-G'(T, -i-i)-hi*
La substitution (o) étant ainsi particularisée, la substitution (^^ devient [x, y, z, Aa?H-Bj-f-G5, A'x -f- B> -i-G'«, A'x ■+- (B'— Oj- -h (G'-+- i)c]
et la substitution (a) correspondante est \ii, V, IV, AM:-+--'(B-hG)P-+- -^(B — G)»», v/^A'a-i-(B'-hG')('-H(IV — G'-i)(r, n'I.
A, B, C, A', B', a étant quelconques, on peut l'écrire
(w, Vj Wj mu -h nv -H/^w, m'u -t- /iV -hp'w, iv),
où m, 72, Pj m'y n'y p' sont aussi quelconques. Cherchons parmi ces substitutions celles dont les coefficients sont des entiers complexes aux unités i et X et q\\[ transforment F en elle-même. Pour que la substitution vérifie cette dernière con-
(lilioD. il faut que l'on ail
K. âLFXVIS.
{mu -+- iw -\- p{v){m\ «I -f- «ii'i -+- p\Wi)
-h { m' ti >- n' V -i- p (»' ) i^'i H- ( //l'i f<i -i- /i ', t^i H- />'i «'j ) «• = uux-ir ViVx -h f'j tr.
il t'n résulte
So'il p'= rj -h X^r' (^ et </' réels), d'où p' -h /f\ = açr — g\ nous aurons
En définitive, nous avons la substitution suivante
011 /> est un entier complexe et q un entier réel. Le Tableau des coefficients est
— \(l'^lX)q -hXppi 1 —pi
73. Les subslîtutions représentées par ce Tableau forment un groupe. En effet, soient p' et // deux valeurs de p] gr', q" deux valeurs de y, on a
f-hlp'p\ i -p]} P' o I J
{l-^%l)q'-^lp'p\ I — />', I |(l-+-tiX)^" p' O I ^ I, p-
Il O o
{i^'?.lng'^q")^l(p'p\-^p^p\)-p'p\ I -(/,;+/,•;) |.
Mais
et
ip'p'i- i^p\p\
étant la différence de deux quantités conjuguées, est le produit de i -h 2À par un entier réel. La substitution du second membre rentre donc dans la substitution R
en posant
On remarque que deux substitutions du groupe R ne sont perniulables que si Ton a
76. 11 est facile de trouver trois substitutions, dont les combinaisons reproduisent toutes les substitutions du groupe R. Considérons les trois substitutions
L— X» o ij
^ o o ij
R8=(T,T,)«=(TtT0» =
On a, en désignant par a, ^, y des entiers réels quelconques, ^ I o o S /* I
aX
— (i-h2X>-^ ^-4-Xa* I —
pX« o I J
= L(. + ,X)&ii±i>+X?. .
-px«
Dans R^, p est un entier réel quelconque; dans R^, c'est le produit d'une racine cubique imaginaire de l'unité par un entier réel quelconque; dans ces deux substitutions, q est déterminé en fonction de p] dans RJ, p=Oy mais q est un entier réel quelconque. En combinant ces trois substitutions et en remarquant que l'on a
x.(, + p + «p)-î<^^:=i>-Mizl)
OD trouve
r?r3ry =
(, + »X)[-r + a? + îi^-4-Pi^]-HX(a.-H..3 + 3.) ,
a — PX« o
-(«-pX)
C'est une substitution R, où
0(04-1) P(P-hi)
ont toate la géaéralîté voulue. R|, R^, R^ peuvent donc être considérées comme les substitutions fondamentales du groupe R.
77. M. Picard a calculé les substitutions du sous-groupe de R contenu dans le groupe S. En eflTet, ses substitutions fondamentales, également au nombre de trois, sont toutes trois congrues à Tunité (mod i — À). La troisième est Rj qui est en eflet une substitution S. Il n'est pas surprenant qu'elle figure ici aussi; en efTel, une substitution de même forme non congrue à l'unité serait congrue à
avec i = zrzi] or nous avons vu qu'aucune substitution de ces deux classes ne transforme F en elle-même.
Les deux autres substitutions de M. Picard sont
R'j = Aî-i I X-i = R,R,
Li->» o i J
ti-> o I J
,= (T,Tf)2TiT,(T,T,)».
Cette dernière expression peut se simplifier au moyen de l'ideolilé (26) qui peut s'écrire sous les trois formes suivantes
T|TiT,= TiTjTf, T,TiT,= T,T,T,, Tf TîT, = T,TÎT|.
On a en conséquence RîRj»R3 = (T,Tî)nT}T,T,)T,(T,Ti)* = T,TîTî(T,T,T,)Ti=T,(TfT|Ti)T,TÎ=T}T}.
En procédant comme au numéro précédent, il est facile de voir que R*R'f RJ est une substitution de la forme
p'ii — X) o
où p' est un entier complexe quelconque, q un entier réel quelconque; c'est la substitution R la plus générale qui soit contenue dans S.
78. Je désignerai par (T|, T2) le groupe engendré par T» et T2. Je dis que R
est un sous-groupe invariant du groupe (TiTo). On a, en effet,
T,RTji =
l-h îX
PPI I >^VI
ce sont bien des substitutions R.
Je dis de plus que R est un sous-groupe d'indice 6 du groupe (T,, Tj). Pour le prouver, je vais montrer que toute substitution (Tj, T^) se dëduit d'une substitution R en multipliant celle-ci par une puissance de T^, c'est-à-dire par une des six substitutions i, T,, T^, . . ., TJ; on pourra d'ailleurs choisir la substitution R de manière qu'il faille la multiplier soit à droite, soit à gauche.
Toute substitution (T1T2) peut être considérée comme un produit de substitutions telles que
