TÎT,T

Ces substitutions sont de la forme

(I^-2X)gr-^X/?/?| I — />,(— X)'« P o (-X)'

\fn

C'est le produit d'une substitution R par T^. Il suffit de prouver que si deux substitutions sont de cette forme, il en est de môme de leur produit. Or, en remarquant que l'on a

il -h il) (q' (l-haX) \q'

q'')-hl{p'p\^p''p\)-p''p\{

Xv',;>'(-Xr'-X/>>ï(.

i[p'^p'(-rr-]ip\+pu-i)-'"],

on trouve

— /?î(— ly'—p'i (— X )'«'♦'«■

lp'p\ I

-/>ï(-xr- (-Xr'

64 R* ALEZÀIS.

C'est le produit d'une substitution R par T'f ■^'"'. La proposition est donc bien établie.

79. Si nous ajoutons aux deux substitutions T|, T, la substitution

comme cette substitution est permutable avec toutes les autres et qu'elle a 6 pour période, on voit que le groupe (T|, Ta) est un sous-groupe invariant d'indice 6 du groupe (T|, T2, H). Ce dernier n'est pas un sous-groupe invariant du groupe total. Remarquons seulement que l'on a

et que par suite, pour avoir le groupe total, il suffit d'ajouter aux trois substitutions T|, T2, H qui ont pour période 6, la substitution 0' qui a 2 pour période. 11 en résulte que toute substitution du groupe total est le produit d'une puissance de H et d'une série de substitutions de la forme

où Rpg, Rjf sont des substitutions R construites respectivement avec les nombres /?, q et 5, /.

Considérons le produit de deux de ces substitutions; c'est

Ty Rpçe^ Rst Tï Tï R,, ,^ e» R,r Tï',

mais Rf^T^T" Ry,y est le produit de deux substitutions de (T|, Tj); c'est donc une substitution de ce groupe; on peut donc écrire le produit considéré

Tî«Rp,,e3R,^Tîe3R^',.Tî'.

Toute substitution du groupe total est donc de la forme suivante

II«Ty'R;,,e'R,,Tîe3R,., Tf e^R^^rTf. . . .