I. — Préliminaires
80. J'appelle substitutions d'ordre k celles qui reproduisent la forme F multipliée par l'entier réel k. Je suppose ces substitutions sous forme homogène et
je les écris
l a' = Aj IV H- Bj p -h G3 ££, (3/i) { V == A,iv-i- Bj^j-hCia,
( iv'= Aiw -+- Biv -h C|«, ou encore
Les quantités conjuguées des A, B, C seront désignées par les lettres grecques correspondantes.
81. Si Ton écrit que la substitution (34) reproduit F multipliée par k^ on trouve que ses coefficients doivent vérifier les conditions suivantes
GiYi-hC,Yi -♦-G,y» = ^',
. A,fltj-+- Aia,-+- Aja, = 0,
^^ ' B,p,-f-B,p,-hB3P, = o,
Cl atj -H Cj»! -h CsŒl = o,
Il résulte des deu^c dernières de ces équations
(36) G| ___ Ci __ . G3 ^
«ips— «sPi a»Pi— «fPa aiPi— «iPî
5, valeur commune des trois rapports, est en général une quantité complexe; (T désignera la quantité conjuguée.
R. ALEZAIS.
Tirons C|, C2, C3 des équations (36) et portons leurs valeurs dans la seconde des équations (35); nous aurons
5ff[(flttp,-a,pi)(A,B,~A,B,)
■+-(a3pï-«i[i8)(A,B,-A,B,)4-(a,p,-a,p,)(A,B,-AtB,)] = -fr, ou
5ff[A,p2(B3a8-H-B,a,)-4-A,Pi(Bjaj-hB,a,)-4-A,p3(Bja,-+-B,a,)
-A,ott(B,p,H-Btp,)-A,a,(B,p3H-B,p,)-A,«,(B,p,-+-Bip,)]=A:,
ou, en tenant compte des autres équations (35),
»(j[AiP,(A: — B,«,)-4-A,p,(Xr-B,a,)-hA3p,(^ — B,a,)
^ A, a, B, p, — Al a, Bj p, -t- Aja,B,p,]
OU enfin
Il résulte de cette relation que k doit être un entier susceptible d*élre mis sous
la forme
A- = (a -I- 6X) (a H- 6X«) = a*— aô -+- 6*,
c'est-à-dire un entier de la forme Sm-j-i ou 3(3/?i-f-i).
En désignant par p l'une des deux racines cubiques imaginaires de l'unité, par Pi une des trois racines cubiques de Tunité, pal* n un entier réel et en posant e = ±: I, on déduit des relations précédentes
En remplaçant s par cette valeur, il résulte des équations (36) et (35)
A,B3-A,Bt
(37) I BiC,-B,C,
AsCi — A1C3
A3B, — AiB, = ep,
AjCs — AjCi = tpi
H-Hl
(a-t-6p) (a-+-6pï)'
ïïl
«îj
A,B, B,Ci A,C,
= epi
— BiGi = cpi
{a-^bçi)
nn-l
«-Kl
= epi
Ta-
pa,
Enfin, on trouve
La valeur de ce détermÎDant devant évidemment être entière, on voit qne n ne peut être que o ou i .
82. Résolvons les équations (34) par rapport à u, i^, w; nous aurons
(38) { t' = T(ai w'-H «li^'-h «aa'),
Cette substitution étant l'inverse de la substitution (34) doit reproduire F multipliée par-r- En exprimant qu'il en est ainsi, on trouve le système suivant de conditions, équivalent au système (35),
Al3|-+- Blttl-h C|Yj= ky
A3P34- Baas-*- €373= ^»
,., , . AiP,-+-B,a, -f-GiYi = o,
Aipî-+- B,ai-HCtYj=o,
AiPi-+-Bia,-+-CiY3 = o,
Aip3-+-B,aj-4-G,Y, = o.
83. Si U et U| sont deux substitutions d'ordres respectifs A* et ^i, on vérifie facilement que UU| est une substitution d'ordre kk^ .
Si U et U' sont deux substitutions d'ordre Ar, si T est une substitution d'ordre i et que Ton ait la relation
(4o) TU = U',
on dit que les substitutions U et U' sont équivalentes.
Je me propose de former un système complet de substitutions non équivalentes d'ordre /r, k étant un entier premier. Il sera nécessaire de traiter séparément les deux hypothèses k = 3m -h i et A: = 3.
