Nous avons vu que, a étant un entier quelconque
est une substitution d'ordre i ; or, on a
si U' se déduit de U en multipliant par ( — X)^ les éléments de la troisième ligne. Deux substitutions ainsi déduites l'une de l'autre sont donc équivalentes. Il en résulte que dans la recherche des substitutions non équivalentes, on peut toujours réduire à l'unité le facteur epi des relations (37).
R. ÂLEZAIS.
De même, la substitution
est une substitution d'ordre i , et l'on a
si les substitutions U et U' se déduisent l'une de l'autre par l'échange des deux premières lignes; de telles substitutions sont donc aussi équivalentes.
85. D'une manière générale, dans la relation (4o)î considérons U et U' comme donnés et proposons-nous d'en déduire T, si c'est possible. De cette relation on tire
c'est-à-dire, en désignant les éléments de T, comme plus haut, par M, P, R et ceux de U' par A', B', C :
M, P, Ri = A', b; c\
Ma Pa R3J Us B', cj
ï! ïl Ï2 k k k
ou
Pi P«
Ri R2 Ra
Pour que les substitutions U et U' soient équivalentes, il faut et suffit que ces quantités soient des entiers.
86. Si dans les relations (3^) on fait n = i, on voit que tous les éléments de la substitution sont multiples de a + 6p. Or considérons la substitution
o a -h bp o I
o o a -\-bp }
C'est une substitution d'ordre h pour laquelle n = 1 . Mettons-la à la place de U'
dans la relation {^o)', les équations (4i) deviendront
a -HOP* a-hop-
a -h bp"^
a-h bp*
On voit que, pour qu'une substitution d'ordre k soit équivalente à (!^), il faut et il suffit que tous ses éléments soient multiples de a + bp. Ainsi toute substitution d'ordre k pour laquelle n = 1 est équivalente à (!^). On peut donc, en conservant (Ç), supposer désormais n = o. Il est d'ailleurs à remarquer que (!J), remplaçant m, if, iv par des quantités proportionnelles, perd tout intérêt si l'on
considère seulement les rapports — > — •
87. La méthode que je vais appliquer successivement àA'=3m-f-iet premier et à A* =3 consiste à traiter d'abord le problème dans un cas particulier. Nous verrons qu'en faisant certaines hypothèses restrictives sur les coefficients, il sera facile de résoudre les équations de condition et d'obtenir la forme générale des substitutions d'ordre k vérifiant ces conditions particulières. Cette forme générale obtenue, Il sera aisé d'effectuer la réduction. Je trouverai ainsi un système de substitutions d'ordre k non équivalentes entre elles. Comparant alors les substitutions les plus générales à celles de ce système, je montrerai qu'elles leur sont toutes équivalentes et, par suite, que ce système de substitutions non équivalentes déduit de substitutions particulières est néanmoins général.
