II. — A: est premier et de la forme 3 m

88. En supposant n = o et epj = — i, les équations de condition peuvent

s'écrire

AiPi-hBia,-i-C,Y, = 0, Al Pi 4- B2 «2 -+- G2 Yî = *> î

(a ■+- 6p')A3= aiYi— «i Y», (a-h6p«)Bs= piYî— ?2Ti»

(a -h bp^)Cz = aipj— ajPi.

Les hypothèses particulières que je considère sont d'abord que A2P2 et B, soient réels et que A2, B2, C2 soient multiples de k. Les trois premières des équations (42) pourront alors s'écrire

j A,p,-+-B,a2-h CiYi= X', < Bi(A,-r-a,)-i-CiYi = o,

( 2A,?2-+'G2Yi=0'

JO R. ALEZÂ1S.

La dernière de ces équations exige que Ca soit pair, et, comme je le suppose

multiple de k, je poserai

Gt= tiAriji,

T|| étant une quantité complexe conjuguée de 7|. On aura

Des solutions que peut avoir cette équation je n^envisagerai que les deux suivantes :

(44) A2 = — îArTjirji, B,= ^,

(45) Xj=ky B, = — a^TjTj,.

Les tableaux des substitutions fournies par ces deux solutions se déduisent Pun de l'autre en échangeant les deux premières colonnes. Il suffira d'effectuer le reste du calcul pour le premier de ces tableaux.

En portant les valeurs (44) dans la première des équations (43)> il vient

Al— 2TiTritBi-f-2TiG,= l,

d'où

(46) 2 7jG, = i — A,-4-2Tr37)iB,, aT;iYi= i — «i-f- aT^7),B,,

Ces valeurs portées dans la seconde des équations (4^) donnent

(47) 4Y3»7)}BÎ-^-ur,TJ^B,(2-^ Ai-+-a,)-h(i — A,)(i — ai) = o.

Cette équation du second degré en 27|7||B| a pour binôme caractéristique

8(At-f-ai)-4-(Ai-a,)».

Pour que 2ir|7|| Bi soit réel et entier, il faut que cette quantité soit le carré d'un entier réel et positif. Soit m cet entier et soit A^ = p -j-Xq (p et q réels); nous aurons

Il faut que m elq soient tous deux pairs; car, s'ils étaient de parités différentes, le premier membre serait impair, et, s'ils étaient tous deux impairs, le premier membre serait congru à 4 selon le module 8. Soient donc

l'équation (48) deviendra

Il faut encore que m' et q' soient de même parité; posons donc

et nous aurons

Le premier membre est la norme de n + \q' . Soit

il en résulte

et; par suite,

Al =^^1-4-^—^1, m = 2(^-4-^,).

Posons g = \-^ f\ nous aurons

A, = n- -^f-^ffu /n = 2(2 -^f-^fx ).

Enfin, les équations (47) et (46) donnent

2r^r,iB, = — /^,, 2r,Gi=- 2/(1 H- fi).

Ce n'est qu'une des solutions, mais on se rend compte facilement que la seconde se ramène à la première.

Pour que B| et C| soient entiers, il faut que/* soit multiple de 271. Soit donc

nous aurons

A, = I -f- 4Tje -f- 4ifj7), 661, Bi = — '2 061, G| = — 26(1 -+- 2T),e, ).

Enfin, le second groupe des équations (42) fournit As, Bs, C3. En résumé, en tenant compte de la solution (4^), nous obtenons les substitutions

rBi A, Cl V =

[Al Bi Ci^ A, B, G, , A, B3 G,J

^Bj Aa Gj

En posant

A, = n- 47je 4- 4i^>iiô6,, B, = — 26O1, Gt =— 2Ô(r 4- 27), 6, ),

Aj = — 2A:tj7Ji, Bt=A:, G2=2A:tii,

A, = — 2(a-h6p)Ti(r-+-2Ti|0,), B5= 2(a H- 6p)6i, G3= (a h- 6p)(i -+- 4î1i0i).

89. Il suffirait, en vue du but que je me propose, d'effectuer la réduction de ces substitutions en y supposant 7\ réel; toutefois, comme cela n'entraîne aucune complication sérieuse, je laisserai à cette quantité toute sa généralité.

R. ALEZA1S.

90. Cherchons d^abord dans quels cas deux subslitulions U, ou deux subslilulions V, ou une subslîlution U et une substitution V sont équivalentes. D'une manière générale, nous avons vu que, pour déterminer si deux substitutions sont équivalentes, il faut porter leurs coefficients dans les relations (4i) et chercher si les nombres M, P, R ainsi obtenus sont entiers. Des deux substitutions dont je cherche Téquivalence, je supposerai l'une caractérisée par t^, 8, p, l'autre par r/,

On trouve que les quantités M, P, R sont les mêmes si l'on compare deux substitutions U et si Ton compare deux substitutions V; mais elles ont d'autres valeurs si l'on compare une substitution U et une substitution V. Je désignerai par M', P, R' les quantités M, P, R relatives à ce second cas.

Posons

Ml) P,)

Rj)

i-H4VO'-f-4VViO'6',-+-4TlT.,e'6', — 4r,(.-(-aT/,0',)0',

(i-+-4V0'-i-4ii'Vi8'e',)ee,-+-(i-t-4ii0i-t-4Tiiie0i)8'6', — a(i (I + 4ï!e'+ 4t)'t/, 6'e',)e -+- aii,(i + 2r,e)e'0', — (i + 4';e)(i

Tf/Vi + ITQi— ariVii

4V'i'i80,-+- i-i-4iiie,-4-4lTlie6, — 4Vi(«-^2l9)0i,

aV/i 8-1- 1)1(1 -H 21)6) — Vi(i -H 4l<l),

V(l -t- 2T)', 6',) + aT,Tl,6', — Tl(l ■+■ 4Vl«'l).

ar,'(i-f. ar,; 0',)ee, -t- (I -f 4li9i-t- 4lTliOe,)e', — (n- aYiO)(i -h 4 Vi 9'i)9i,

aiiO)(r-i-2V,«'.)e,0', aV,6',)e',

= 4l'(i -H ai)'i 0',)0 + 4t|,(h- 87)6)6', — (I -H 4t|0)(h- 4 Vi 6'i).

6' 6', -H r,T),(i H- 4T/e'H- 4 VVi6'6',) + aii(n-aT/,6',)6',

4ee,6'6',-+-(n-4ii0i-+-4')iie6,)(i-i-4Tî'e'-(-4T/Ti'i6'0',)-i-4(n-ai6)(i

aôô'e', -+- r,,(n- aT)e)(i -I- 4ii'6'-i- 4 VVi 6'9',) -h(i -F 4t,6)(i -t- aV, 6',)9',

«-t-4ll'i-<- 4'>liliVl'i.

66,-+- Vl'.(> + 4^t6i -H 411166,) -t- aT/,(n- aTi6)6„