Qi) = (ï-f-a^iOi)e'0',-(i-f-2Vie',)e,e

' l(Q3) = (i-+-2r/e')oe, -(i -H 1716)6,0',

de même

en posant

(Q',) = (1-4- 2îii6i)(i -^ 4 V<>' -+- 4 VVi «'0',) -H 2(1 -+- 2V1 6',)6,6', (Q',) = (n-2V6') (i^-4îli6|-*-4TiTii66|) -4-a(n-ai(i6)6i6'.

Il en résulte que, pour que (P|) soit multiple de A:, que (R|) le soit de a + 6p et (P3) de a-|-6p*, il faut et suffit que (R,)et(Qj) soient multiples de a-j-ép et que (Ps) et (Qs) le soient de a + 6p^* Une remarque toute semblable vaut pour les quantités accentuées.

92. Les formules précédentes vont d'abord nous permettre de déterminer dans quel cas deux substitutions U ou deux substitutions V correspondant à la même valeur de v] sont équivalentes entre elles. Pour cela, je fais t/=7| dans les formules (49) et (54); il vient

(M,)=i, (P,)r=e6,-+.6'6'i-26,6\ (R,) = 6-6„ (Qi) = 6'(6',--6,),

(M,) = o, (P,) = i, (Rî) = o,

Portons ces valeurs dans les équations (3i). La valeur de (R3) montre d^abord qu'il faut supposer p'= p. On voit ensuite que (R|) et (QO, (P3) et (Q3) vérifieront les conditions voulues si et V sont tous deux multiples de a + 6p, ou A. 10

si 6 — 6' est multiple de k. Ainsi, pour une valeur donnée de tj et pour chaque détermination de p, un Tableau U ou un Tableau V fournit autant de substitutions non équivalentes entre elles qu^il y a de classes de nombres de la forme m-hnp, selon le mod k. Ce nombre est norme de À' = k-. Chaque Tableau fournit donc en tout, pour une valeur de Tj, 2^^ substitutions non équivalentes entre elles.

93. Je vais maintenant entreprendre la réduction des substitutions U et V, en cherchant à les ramener aux substitutions

(Oi)