Matrices, — Le tableau de />^ quantités telles que
disposées en p lignes et p colonnes est représenté par la lettre unique \ qui est appelée matrice à p^ éléments.
Le déterminant de cette matrice est désigné par |X|.
Une constante numérique comme ici peut être considérée comme une matrice; c'est la matrice dont tous les éléments sont nuls sauf ceux de la diagonale principale dont chacun est égal à icf. En particulier, la matrice i est la matrice
La matrice o est celle dont tous les éléments sont nuls.
L'élément (1,7) d'une matrice est celui qui se trouve à la «^*"* ligne et à Ij^yièmc colonne.
On désigne par X la matrice déduite de X par transposition, c'est-à-dire celle dont l'élément (/,/ ) est l'élément (y, i) de X.
Si X = X, on dit que la matrice est symétrique.
Si X et (JL sont deux matrices à p^ éléments, X + {j. désigne la matrice dont l'élément {iyj) est la somme des éléments (i,y) des matrices X et |x.
On représente par X(jl la matrice obtenue en multipliant les deux matrices comme des déterminants, mais en ayant soin de combiner, pour former Télément (1,7) de la matrice produit, les éléments de la t**"* ligne de la première matrice avec ceux de la y**"* colonne de la seconde. On a évidemment
|Xfx| = |X||ti|.
Si un facteur numérique multiplie une matrice, on doit le considérer lui-même
comme une matrice; ainsi
\va\ = (ni)P\'k\.
On a __
Xfi = fiX,
et par suite on n'a X(jl = (jlX que si Xa est une matrice symétrique.
Dans un produit de plusieurs matrices, on peut grouper les facteurs comme Ton veut, pourvu qu'on ne change pas leur ordre.
Avec l^^l^z^o, on désigne par X"* la matrice inverse de \ c'est-à-dire une matrice telle que Xk"* soit la matrice 1. L'élément (t, y) de X~* est le quotient par I X I du mineur de l'élément (y, i) de X,
La transposée de la matrice inverse est l'inverse de la matrice transposée.
Si X et UL sont des matrices à déterminants non nuls, on a
(X|x)-«=fx-tX-i.
La relation X = |jl représente les p^ relations Xiy= \i^ij{i^j =1,2, . . . , p). En particulier, X = o signifie que tous les éléments de X sont nuls.
120. Lettres multiples. — L'ensemble des p quantités a/(i = 1, 2, . . ., p) est représenté par la lettre unique a qui est appelée lettre multiple à p éléments.
Si a et 6 sont deux lettres multiples kp éléments, on désigne par ab la somme des produits des éléments de même indice. On a
ab = ba.
On désigne par dÇk) la lettre multiple dont les éléments sont ceux de la diagonale principale de la matrice X.
121. Combinaison des matrices et des lettres multiples. — Si X est une matrice à p^ éléments et a une lettre multiple à p éléments, Xa et aX sont des lettres multiples à éléments polynômes; pour Xa, le i**"® élément résulte de la combinaison des éléments de la i'^"*' ligne de la matrice avec ceux de la lettre
92 R. ALEZAIS.
Pour aX, le *'^"® élément résulte de la combinaison des éléments de la lettre avec ceux de la t"'^"® colonne de la matrice
[An . . . Aip = [ai Âjf-h . . .-f- ût/î Api . , .ai A|p-i-. . .-f- apApy,]. Api . . . App ^
ipi . . . f\pp On a toujours
Xa = aX.
Pour avoir Xa = aX, il faut que la matrice X soit symétrique.
Si, X étant une matrice à p^ éléments, a et b sont deux lettres multiples à /> éléments, la relation
Xa = ^»
représente un système de p équations linéaires qui ont pour coefficients les éléments de la matrice X, pour inconnues les éléments de la lettre a, et pour seconds membres ceux de la lettre b.
Si l'on a I X I p^ o, le système résolu par rapport aux éléments de a s'écrit
Si X étant une matrice quelconque à p^ éléments, a ei b sont deux lettres multiples à p éléments, \ab représente le produit des deux lettres multiples Xa et b et par suite la forme bilinéaire
p p ^^hjajbi,
1=1 /=i On a
\ab = 'kba = aXb = bXa,
Si X et [X sont deux matrices quelconques à p^ éléments, on a
Xa[x6 = Xfi^a = fxXa6.
Si, X étant une matrice symétrique à p^ éléments, a est une lettre multiple kp éléments, Xa^ représente la forme quadratique
^^X/ya/ay.
On a
a'ka = 'ka*
et [X étant une matrice quelconque kp^ éléments, on a
X(fxa)' = {xXfxa*.
Enfin, b étant une autre lettre à p éléments, on a
X(aH-6)«= Xa«H-2Xa6-4-X6«.
122. Matrices rectangulaires, — Nous aurons à considérer des malrices à/^*, p^^ et {p—p'Y éléments (p'<.p)', de même, des lettres multiples à /?, p' et p — p' éléments.
X étant une matrice à p^ éléments, X| représentera la matrice à p'^ éléments formée des éléments communs aux/? premières lignes et colonnes de X; X2, la matrice à (p — p'y éléments formée des éléments communs aux p — />' dernières lignes et colonnes de X.
a étant une lettre kp éléments, a sera la lettre formée des /'/premiers éléments de «, et a la lettre formée des p — />' derniers éléments de a.
X étant une matrice à />^ éléments, X sera la matrice rectangulaire formée des p' premières lignes de X, X celle qui est formée des p — />' dernières lignes de X;
enfin IX représentera la matrice rectangulaire formée des p' premières colonnes
de X.
Les lettres multiples sont des matrices rectangulaires n'ayant qu^une ligne ou qu'une colonne.
On peut composer les matrices rectangulaires comme les matrices carrées, pourvu que la première matrice du produit ait autant de colonnes que la seconde a de lignes.
Le nombre des lignes du produit est égal au nombre des lignes du premier facteur et le nombre des colonnes du produit est égal au nombre des colonnes du second facteur. Ainsi X et |x étant deux matrices kp^ éléments
X [X a /?' lignes et p colonnes, X|(x 9l p lignes et/?' colonnes, X Ifx a /?' lignes et p' colonnes, UxX a p lignes et p colonnes.
Si [X| est une matrice kp'^ éléments,
IXfXi a/7 lignes et p' colonnes, {XiX a/?' lignes et /? colonnes.
123. a, P, a', P' étant quatre matrices à p^ éléments, j'écrirai
*pl
.. CLpp
; Ppi
... ^pp
*pi •
,.. app
... p'pp
q4 i^« alezais.
Si Tune des quatre matrices a tous ses éléments nuls, elle sera représentée dans ce Tableau par un seul zéro. Ainsi avec a'= o, j'écrirai
OLip
pp
Pu ••• P
Ppt . . . Ppp
Pu ••• p;,
PI ••• Ppp
