II. — Formule de la transformation linéaire
124. Une fonction à /> variables est représentée en notations abrégées de la manière suivante :
^ , -/ Q q'\ V^ iciJr(lii-i-7T-t-?TU«-K7'|«-t-^y|Jyn-<7')
Dans cette formule, x^ /i, ^r, g' sont des lettres multiples à p éléments : X représente les arguments; q et q' sont des eotiers que nous supposons o ou i et dont les moitiés constituent la caractéristique de la fonction; cette caractéristique est désignée d'une manière abrégée par N. Les symboles de sommation sont
représentés par /i, et ]^ indique une sommation portant sur tous les termes
obtenus en donnant aux/? quantités n tous les systèmes de valeurs entières.
T est la matrice symétrique des périodes normales de seconde espèce de la fonction. Si l'on pose t = t' -h «V (x' et t" réels), il faut et suffit pour la convergence que T^/i^ soit une forme définie et positive. La matrice des périodes de première espèce est la matrice i .
125. A un facteur près, la formule de transformation linéaire est donnée par M. Baker en notations abrégées (Abelian Functions, p. SSq). On peut l'exposer de la manière suivante : Supposons donnés un système quelconque d'intégrales distinctes de première espèce û|({= 1,2, ...,/>) et une surface de Riemann à p feuillets. Traçons sur cette surface un premier système de rétrosections qui la rende simplement connexe et prenons les valeurs des intégrales le long de ces courbes; nous obtiendrons un système de périodes des intégrales; représentons ces périodes par les éléments des matrices o) et o)'. En partant de ces périodes, on peut construire un système d'intégrales normales de première espèce U^'^; soit r la matrice des périodes normales de seconde espèce de ces intégrales. Passons du système de rétrosections considéré à un autre système de rétrosections rendant
SUR UNE CLASSE DE FONCTIONS HYPERFUCHSIENNES. g5
encore la surface simplement connexe; soient [o], [co'] les matrices des périodes des intégrales û| déduites de ces nouvelles courbes; avec ce nouveau système de périodes, construisons des intégrales normales [U^'^] et soit V la matrice des périodes normales de seconde espèce de ces intégrales. Nous aurons d'une part
et d'autre part
(73) (ot-hzoL')z'= 3*1- xp',
et dans ces deux groupes de relations, a, a', ^, P' représentent les mêmes matrices kp^ éléments entiers vérifiant les deux groupes suivants de relations dont Tun est conséquence de l'autre
(74) ia'— i'a= pp'-p'p = o, ip'— â'p=p'a- pa' = i; (^5) ap — ^i rra'P'— p'i' = o, ap'- pâ' =P'â — a'p = i.
126. Ceci posé, construisons des fonctions en leur donnant pour périodes d'une part les t, d'autre part les x'; il existe entre ces deux fonctions la relation suivante qui est appelée formule de transformation linéaire des fonctions
ou
(76) 6:,(a?')ei^'9''=TÔi,'(ar);
et l'on a
(77) a?'=(a-+-Ta')a?,
(78) cp = ï'(a-l-Ta'),
A: = P'5r-p^'+^(ppO, A:' = — a'q -+- aq' — d{aa').
iS7. II résulte des conditions (74) que la matrice (f définie par la relation (78) est symétrique et, par suite, que ^x^ est une forme quadratique. On en déduit aussi que l'on a
(a-4-Ta')(p' — T'iO=(P'— aV)(î-4-5'T) = i;
en d'autres termes, le sjstème d'équations
a?'= (a 4- xa')a?
résolu par rapport aux x peut s'écrire
a?=(p'-xV)a?'.
96 R. ALEZAIS.
Enfin, on monire que la matrice à ^p^ éléments
a son déterminant égal à i.
128. Si l'on augmente Xr,- de 2 m (m entier), on sait que la fonction 8 est reproduite multipliée par e^'^*^i ^ et si Ton augmente k'i d'un entier pair, la fonction 8 ne change pas; il en résulte qu'il suffît de calculer les quantités A* selon le module 4 et les quantités k' selon le module 2.
129. Le facteur T est une quantité indépendante des variables x dont la valeur a été calculée d'une part par M. H. Weber (Journal de Crelle, t. 74; 1872) et, d'autre part, par MM. A. Krazer et F. Prjm {Neue Grundlagen einer Théorie der allgemeinen Thetafunctionen; Leipzig, Teubner; 1892). Ces derniers auteurs, après avoir calculé la formule de transformation en supposant que les quantités a, a', ^, ^' sont des fractions, considèrent le cas particulier où ces fractions se réduisent à des entiers et ils obtiennent ainsi dans toute sa généralité (p. 121) la formule de transformation relative aux fonctions qui nous occupent.
M. Weber n'a fait le calcul qu'en supposant la caractéristique initiale {—*—]
réduite à zéro, mais il est facile, en ajoutant des demi-périodes aux arguments, de retrouver la formule la plus générale.
130. Il est nécessaire de distinguer trois cas qui sont caractérisés par la matrice a'; cette matrice peut être nulle, c'est-à-dire avoir tous ses éléments nuls, et si elle n'est pas nulle, il peut se faire que son déterminant soit différent de zéro ou qu'il soit nul.
