Dans le premier cas (a'= o), on a

en posant

(80) E = a'pv— ^^'qq'-^ jp^'«-f- 2a'rf(pp')^ — 2« ^(PP')yS on voit que T se réduit à l'unité si çr = y'= o.

132. Dans le second cas (a' 7^ o, |a'| ^ o), la formule de T est

\^ Indique une somme multiple de Gauss que Ton obtient en faisant parcourir

à chacun des p éléments de la lettre multiple p un système complet de restes,

selon le module [a'|. M. Weber fait subir à l'expression 7(p) une transformation particulière qui permet de calculer cette somme d'après la méthode exposée par lui dans un Mémoire précédent {Journal de Crelle, t. 74). Cette transformation ne serait que de peu d'utilité en vue du calcul qui suit, parce que les sommes de Gauss qui s'y présentent sont si simples qu*il est plus facile de les calculer directement. En négligeant cette transformation, les formules de Weber et de Krazer coïncident pour q=iq'z=o. T ayant la forme (81) et E la valeur (80), on a

X(p) = ««'-» p*-+-â'-»c?(âa')p,

K-! i/zjni = __L__4/z

I flf I *

Il résulte immédiatement des conditions (74) ou (76) que les matrices aa'~* et a'-* ^' sont symétriques; aa'~*p2 et a'~* ?'[^(aQ^O] ^^^^ donc des formes quadratiques.

133. La partie du calcul qui peut présenter la plus grande complication est la détermination du signe de K. Dans le cas général, on doit pour l'obtenir décomposer en somme de carrés la forme quadratique

ç^*= a'(a -h'ca')-5*.

Posons, avec « </?,

on aura

çz«=?nZî+i£llz|^||ilzj-^...4-j-iiLz|,

où Z/ est une fonction linéaire de «/, s/^i, , . ,^ Zp dans laquelle Zi a l'unité pour coefficient. Pour les valeurs réelles de ^, cette forme a même partie imaginaire que a'Ta'3^ = T(a'i;)*. Nous avons vu que si les séries qui définissent les fonctions sont convergentes, cette forme a sa partie imaginaire définie et positive; il en résulte que les/> quantités

l?îl •?«! I?l

98 R. ALEZAIS.

onl leurs parties imaginaires positives et par suite que les p quantités

Tn |«ps| Ifsl I?

ont leurs parties réelles positives.

Ceci posé, on trouve le signe de K en écrivant

4 /^ = 4 /J- 4 /iiii 4 /ihiï i /ihjLii

et en choisissant les déterminations des radicaux du second membre, de manière que chaque facteur ait sa partie réelle positive. Ceci est possible dans chaque cas, puisque aucune des quantités sous radical n'est ni nulle, ni réelle et négative.

134. Quand /> = 1, la détermination du signe de K est immédiate. Quand ^ = 2, elle est simplifiée par la remarque suivante due à M. Weber. On a, avec/? = 2,

V i?i""v ?ii V i?r

Soient 6 et 0' les arguments de — etde-j^; puisque ces quantités ont leurs parties réelles positives, on peut supposer que l'on a

Il en résulte

L'argument du premier membre est — - — et Ton a

Ainsi, sans effectuer la décomposition, on sait, avec p=^i^ que le premier membre doit avoir sa partie réelle positive.

135. Il résulte des relations (78) que |a + Ta'| est proportionnel au dénominateur commun des expressions des t' en fonction des t. Soit [x la racine carrée de ce dénominateur avec une détermination quelconque, on voit que T peut se

réduire au produit de - par une racine de l'unité d'ordre 8| a'|.

136. Dans le troisième cas (a'^o, |a'| = o), les formules de Weber et de Krazer sont en apparence différentes.

D'après MM. Prym et Krazer, T a eocore la forme (81.), mais E', K et -^(p) se déterminent de la manière suivante i \cl'\ étant nul sans que tous les éléments de a' le soient, il existe un entier />' compris entre zéro et p tel que un au moins des mineurs à />'^ éléments de |a'| n'est pas nul et que tous les mineurs à (/?'-f-i)^ éléments de ce déterminant sont nuls. On choisit un de ces mineurs non nuls à/>''^ éléments; supposons que ses éléments se trouvent aux lignes de la matrice a' dont les rangs sont mi, ma, . . . , nip'; nous dirons : les rangs m.

Ceci posé, on déduit de la matrice à 4/>^ éléments

relative à la transformation proposée, une autre matrice de même forme

en remplaçant dans a et ^ les éléments des lignes autres que les lignes de rangs m , par les éléments correspondants des lignes de mêmes rangs de a' et ^' respectivement; et en remplaçant dans a' et 3' les éléments des lignes autres que les lignes de rangs m par les éléments correspondants changés de signe des lignes de mêmes rangs de a et ^ respectivement. On a alors

(83) / X(?) = aa'-^p^-^â'-id{la')p,

"■ l^'K-^V \a'\\ci-i~za'\'

On voit que le calcul par cette formule est tout à fait semblable au calcul du cas précédent; on a une/?"^^® somme de Gauss à calculer et, pour trouver le signe de K, on doit décomposer le radical en un produit de p radicaux.