Au contraire la formule de M. Weber doit s'écrire
lc/(E-i-E')
K^e-'^'XCP),
p n'étant qu'une lettre à p' éléments. Cette formule s'obtient d'ailleurs de la
manière suivante. Dans le cas qui nous occupe (a'^ o, | a' | = o), il est possible de trouver des matrices g et h kp^ éléments vérifiant les conditions suivantes : D'abord leurs déterminants sont égaux à =ii i ; je poserai
lOO R. ALEZAIS.
En second Heu, elles sont telles que la matrice
ai h a ses/? — /?' dernières colonnes formées de zéros, d'où il résulte que les matrices
qui sont symétriques, ont leurs p — /?' dernières lignes et colonnes formées de zéros.
Enfin, en troisième lieu, la matrice
a = g 7.' h a aussi ses/> — p^ dernières lignes et colonnes formées de zéros, mais
c'est-à-dire la matrice a réduite aux éléments communs à ses/?' premières lignes et colonnes, a son déterminant différent de zéro. Soit
on montre que cette matrice jouit des deux propriétés suivantes :
1° Les p — /?' derniers éléments de ses /?' premières lignes sont nuls, d'où il
résulte
6| étant la matrice formée des éléments communs aux p^ premières lignes et colonnes^ 62, la matrice formée des éléments communs, aux p — />' dernières lignes et colonnes.
2** On a
Ceci posé, les expressions de E', '/,(?)» K sont les suivantes
en désignant par o^' la matrice
qui n'a que/>'^ éléments; on voit par suite que le signe de K s'obtient par un
SUR UNE CLASSE DE FONCTIONS HYPERFUCflSIENNES. ICI
produit de />' radicaux seulement. Il résulte de là, dans plusieurs cas du calcul suivant, une si grande simplification que ce sont ces dernières formules que j'adopterai; il est facile d'ailleurs de constater que les formules (83) conduisent pour tout le reste aux mêmes résultats.
138. Les formules précédentes étant établies dans les Mémoires cités, je me contenterai de revenir sur les propriétés de la matrice b de M. Weber afin de montrer qu'il est possible d'éviter un point du raisonnement de cet auteur qui est en contradiction avec un résultat du calcul suivant.
139. Je remarque d'abord que la matrice ba est symétrique. En effet, des relations (74)
aa'= a' a,
il résulte immédiatement
hoLg-^gT.' h = h%' gg-^9.h^ c'est-à-dire
ba = ab.
Mais a ayant ses p — />' dernières colonnes nulles, il en est de même de ba et ainsi il résulte de la symétrie que l'on a aussi
ba = o.
a ayant de même ses p — p^ dernières lignes nulles, ces relations se réduisent à
Ainsi, pour chacune des valeurs i =^'-|- i, . . ., ^, les />' quantités
61/, ..., bpi
vérifient un système de p' relations linéaires homogènes dont le discriminant | a^ n'est pas nul; toutes ces quantités sont donc nulles. C'est la première des pro priétés de la matrice b.
Il en résulte que, quelles que soient les/? — p' quantités
^p'-*-ii • • • > ^pi
on a, pour « = i , . . .,/>',
^p'-hi ^i,//-hi 4- ... -h nip bip = o.
Si I 62 I = o, il est possible de donner aux m des valeurs non toutes nulles et
I02 R. ALEZÂIS.
telles que la même relation ait lieu aussi pour / = />'+ i , . . ., )d. Supposons les m ainsi déterminés.
D'autre part, de la relation (70)
il résulte
Posons avec M. Weber
Nous aurons
et comme on a
il en résulte en particulier
Aîp'— Aa'P = A.
A = ft'h, B = nh.
Bp'— Ap = A,
Bp'=/i.
Mais B = aA = gb^ d'où B = é^ et B = bg\ on a donc
pP'=A.
Posons ^P'= M, ces relations pourront s'écrire, avec « = i , . . . , p,
I Miibip -h . . .-^ Mpfbpp = hpi.
Multipliotis ces relations par les quantités m déterminées plus haut en supposant I 62 1 = o, nous aurons, pour e === 1 , . . .^ p,
Mi;(/np'^i6i|p'».i -*-...-!- TTipbxp) -+-...
-H- Mp/(/np'-i i6p^p'n-h. . .-h nipbpp) = rrip'^x hp'^i^t-h. . .-♦- ntphpt.
Mais, d'après ce qui précède, les parenthèses sont nulles; on aurait donc,
pour i = I, ...,/?,
^p'-k-\hp'^\^i-\-n . .-h mphpi=z o,
sans que tous les m soient nuls; il faudrait pour cela que tous les déterminants formés des p — p' dernières lignes de h soient nuls; or ceci est contraire a l'hypothèse | A | = di i . On a donc bien | 62 1 7^ o .
140. Le raisonnement précédent est en somme dû à M. Weber. Toutefois cet auteur cherche d'abord à prouver (p. 77) que l'on a
et se contente ensuite d'indiquer que l'on peut procéder d'une manière analogue
SUR UNE CLASSE DE FONCTIONS HYPERFUCHSIENNES. Io3
pour I 62!* Or le raisonnement ne vaut pas pour | B2I. De même que pour | 62I, on a bien avec t = />' -h i , ...,/>
mais il s'agit d'étendre ces relations aux autres valeurs de l'indice e; pour cela M. Weber se sert des relations
BA = o, c'est-à-dire, pour y = i, ...,/?,
Aiy Bi,p'Ki -1- . . . H- Ap'yBp'^p'+i = o,
A|yBip -f-. . .-4- Ajp'yBp'p =0.
En les multipliant par les m, on en déduit, pour y = i , ...,/?,
Aiy(mp'H-iB|,p'+i-h. . .-h nipBip) -4-. . .-4- A,p'j(mp'^iBp'^p'^i-^, . ,-f- nipBp'p) = o;
mais pour en conclure que les parenthèses sont nulles, ce qui fournirait l'extension cherchée, il faudrait que tous les mineurs à p'^ éléments formés des />' premières lignes de A ne pussent être nuls à la fois. Or cela n'est pas impossible, ainsi que nous le verrons sur un exemple.
