DEUXIÈME SUBDIVISION. - PROBLÈME PARTICULIER
141. Les substitutions étudiées dans la deuxième Partie correspondent chacune au passage d'un premier système canonique de rétrosections de la surface de Riemann à un autre système canonique de rétrosections. Elles correspondent donc aussi à des transformations linéaires des fonctions 0. Ce sont les transformations linéaires relatives aux substitutions S que je me propose d'effectuer.
Les substitutions S étant des combinaisons des substitutions T, on pourrait obtenir les transformations S en effectuant d'abord les transformations T, puis en combinant celles-ci entre elles.
Cette méthode ne m'a pas paru avantageuse, parce que les expressions de plusieurs des S en fonction des T sont compliquées; j'ai trouvé plus simple d'effectuer directement les transformations S.
I04 R* ÀLEZAIS.
I* — Calcul des coefficients*
bi
La,
aJ
142. D'après les formules que je viens de rappeler, tous les éléments de la transformation dépendent des coefficients désignés par a,, a', p, P'. Ce sont ces coefficients qu'il est d'abord nécessaire de calculer pour chaque transformation.
Ils s'obtiennent en identifiant soit les formules (72), soit les formules (73); mais ces dernières conduiraient à des calculs beaucoup plus compliqués que les premières, ce sont donc celles-ci qu'il faut identifier.
Nos intégrales primitives Û, U, W constituent un des systèmes que j'ai désignés par Ùi au n^ 125^ posons
û = ûi, U = û„ W = Û8.
Les périodes fournies par le premier système de rétrosections {fig* i) sont les quantités
a^ r'wi, 0)12 wi3^ /*«, a^ ae^ f^'w ^li ^'is^
3 1 = 1 0)21 W,i (0,3 | = b)^ 6, 64 ^6| = |(»21 ^'t\ Wij| = w'.
»J 1^0)81 0)3, 0)33 J La, A4 AeJ Lo)'3, 0)^, O) 3 , J
Des périodes transformées, je n'ai considéré que celles qui proviennent des A et je les ai désignées par A'. Ici encore il suffit de considérer ces périodes, car tous les coefficients sont déterminés par celles des équations (72) qui contiennent les périodes d'une même intégrale, par exemple celles de Û3 = W; et les autres équations fourniraient évidemment les mêmes valeurs.
143. Les relations entre les A et les A', que j'ai données pour chaque substitution (*), ont été écrites en éliminant Aj|, A5, A^ et, par suite, A'^, Ag, A'^, au moyen des relations (5). Cette élimination a fait apparaître dans les coefficients l'irrationnelle A; il est nécessaire maintenant d'éliminer \ au moyen de ces mêmes relations (5), afin de ramener les relations entre les A et les A' à la forme (75*).
144. Considérons, par exemple, la substitution S4. Elle nous a donné (n^ 26)
(85) Ai = Ai, A', = A„ Ai = X«A8;
au moyen des relations (5), on en déduit
.g., jA', — A,, A'3 = — As-h A4, A5 = A4,
\ A, — A,, A4 — A3, Aj — Ae.
(1) Je n'ai pas donné explicitement ces relations pour S4 et S5, mais elles se déduisent facilement des Tableaux des coefficients de ces substitutions; on trouve
PourSi: A'i = — 2XAi-h(X«— X)A„ A', = (X — i)A,-+- XA„ A'3=Aj;
Pour Sj : A'i = A,-h(X«-X)A,-h(i — X)A3, A', = A,, A'3=: (X — i)A,4- X«A3.
io5
Celles des relations (72) qui contiennent les A peuvent donc s'écrire
Il en résulte immédiatement
^it
= [Aj — As-f-A* A5],
= [Aj — Aj As].
U pj
Is
145. Cette solution du problème n'est pas la seule. Les formules (80) ont été obtenues en partant de la Jig. 3; or cette figure, ainsi que toutes les autres, contient un élément entièrement arbitraire : c^est la correspondance entre les trois sortes de traits et les trois feuillets.
Pour obtenir les formules (85), j'ai fait correspondre {^g. 1) le trait continu
au premier feuillet, les points-traits au deuxième et les points au troisième.
En supposant maintenant que le trait continu correspond au troisième feuillet,
que les' points-traits correspondent au premier et les points au deuxième, on
trouve
