Voici les valeurs des quantités [x/ et t
Substitution S|. — [u, Vj X^a, ç].
On a
'^»3= ' [(i-:^*)"«-f-->-(X«-X)p], T'„ = Xîa.
(1) On montre que, dans le cas des fonctions 6 paires, le changement des signes des quantités a, a', p, p' ne modifie aucun des éléments de la formule de transformation; dans le cas des fonctions 6 impaires, il change les signes des arguments x' et celui de T.
(*) Il résulte de la relation ih- X -r- X* = o que si l'on calcule les trois Tableaux de coefficients d'une même substitution en conservant sur la figure le même sens positif pour les trois, la somme des trois \aleurs de chacun des éléments est nulle.
J'ai trouvé commode de prendre les signes de manière à avoir |a'|>o quand il n'est pas nul et |ai| >o quand |a'| = o. J'ai par suite changé les signes de S",, Sj, S,, S^, S'j, S'i,
Il en résulte que, pour chaque substitution, il existe un Tableau dont chaque élément a pour valeur la somme des éléments correspondants des deux aulres.
Substitution S2. — [w, i^, X^w + ï — X, ^ 4- (X — X^)^ -+- X* — 1]. On a ■
t;, = i[-3X«-6Xa+(X-i)a«H-a(X«— X)P], t^, = X«- i -^ X w,
<j=5[-3X«H-3ttH-(X«-X)(a«^p)], t;,=-X«,
T*,,= i[3(X-2)-6X«a-4-(i-X«)M»4-2(X«— X)P], t';3=:i-Xm-X«m.
Substitution Sj. — [a, t', X^a+i — X^, (^+(1 — X^)m h-X^— i]. On a
<t=5[3(i-H4X)- i2Xa + (X--i)a«-+-2(X«-X)p], t7j = X*- X h- X w,
t';3= i[-3X«+6X«a-f-(i — X«)w«-ha(X«-X)p], xJa = i- X»-h X«w.
Substitution S4. — w, «^, ttï ^^ r» tt; ^^ -t •
L (X* — Oi' — aX (X* — i)p— aXJ
En posant
OU a
3fxÎT7i = — i2-h(X~i)tt«-f-io(X — X«)p + 6p*, Hi*'crj = Xu,
3 fxÎT^a = 6-4- (X«~ X)a«-+-5(X«— X)t> — 3p«, 'c'/, = — X«,
3ji{Ty3 = — i2-*-(i -X«)a«-f-io(X - X»)(;-4-6p«, fi*'cy3 = X«tt.
Substitution S5. — «/, p, , ,.- r—n rr-» — tt; — ^ ; rr- ■
L i-i-(X*— i)p-f-(i— X)a i-h(X«— i)p-4-(i — X)wJ
En posant
ji,= X«-h(X«— i)a-f-(X — X«)p, on a
3fiÎTÎi = 2(i-X«)P-4-(X>— X)a«-6X*ap-h3(X«— 2X)p«, Htstl, = li-f- (X«- i)p,
3^x1x^3 = (X«-i)(p tti)-+-3(2X«-i)ap-+-3(X — 2X«)P», x^jj = -X«,
3fi}'cî, = 2(1— X«)p-h(X — i)a*-hi2ap-+-3(X-+-4X*)p«, tA8tÏ3= Xa-i-(i— X)p.
Substitution S«. — L^, i', . ,^o ~! /->, '\ > * — tti r^^ — in — ^v *
En posant
on a
S^xJtV, = 2(1 — X«)P4-(X -i)a«-+-6XaP — 3p«, F^eTÎ', = a-f- (X«— X)p,
3fijTV3= (i X«)p-+-(X*— i)tt«— 3Xap — 3p«, tJ'j = - X«,
BHô-^Vj = a(i - ^*)<' -H (X - i)M«-t- 6aP + 3(X>- 2X)p*, fie-c^j = Xu-t- (i - X*)p.
Io8 R. ALEZÀIS.
II. — Calcul des grandeurs indépendantes des caractéristiques.
150. Nos six substitutions nous ont conduit en déGnitive à dix-huit Tableaux de coefficients et par suite à dix-huit problèmes de transformation linéaire; je désignerai les trois qui proviennent de S/ par S^., S^, S^. Je vais appliquer à chacun d'eux les formules rappelées plus haut.
loi. On peut dans ces formules distinguer deux parties, Tune qui dépend des caractéristiques, Tautre qui en est indépendante. Je commencerai par cette dernière. Elle comprend les valeurs des nouvelles variables en fonction des anciennes [je les appellerai x^^^ pour la transformation S[-, y^^^ pour S] et z^^^ pour SJ], la forme quadratique qui figure dans le multiplicateur et enfin une portion du facteur T. Ce dernier facteur a été calculé en supposant la nouvelle caractéristique non réduite. Désormais, au contraire, je supposerai toutes les caractéristiques réduites, il faudra, en conséquence, introduire un nouveau facteur y\ égal à dt ï . J'écrirai
T = T)c ♦ H, 7j et E dépendent des caractéristiques; H en est indépendant.
152. Dans le calcul de nos dix-huit problèmes de transformation, les trois cas de formules indiqués plus haut vont se présenter. En effet, nous allons voir que : pour S'^, S'a, S', on a s/=z o (piemiercas), pour S",, S,\ S* , S'^, S',, S,, S'^, S^, S'^ on a a'^z^o, |a'|=o (troisième cas), pour S*, S^, SJ, S^, S^, S^ on a la'l^z^o (deuxième cas).
153. Pour les transformations qui se trouvent dans le premier ou le troisième cas, il sera facile d'effectuer le calcul jusqu'au bout, car le signe de K qui seul pourrait embarrasser, dépendant ici de deux radicaux au plus, se déterminera immédiatement. Il en va tout autrement pour les six transformations qui se trouvent dans le second cas. Pour celles-ci, je n'entreprendrai pas la recherche directe de ce signe. Cette recherche serait extrêmement laborieuse et d'ailleurs inutile. J'ai dit, en effet, que des trois formes de la transformation relative à une même substitution proviennent des relations entre les fonctions 8. Nous verrons que les trois premières substitutions, pour lesquelles le calcul sera entièrement effectué, conduisent identiquement aux mêmes relations; quant aux trois autres substitutions, pour une des déterminations du signe de K, elles conduisent aussi aux mêmes relations; pour l'autre détermination du signe, elles conduisent à des relations différentes qui ne sont compatibles avec les premières que si l'on suppose toutes les fonctions identiquement nulles; or, on sait qu'elles ne le sont pas.
