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7. Pour que les périodes de nos trois intégrales prises pour constantes de fonctions Q à trois variables conduisent à des séries convergentes, il faut et il suffit que la forme quadratique qui a pour coefficients les éléments du Tableau (E) soit définie et positive. Or, étant donnée une forme quadratique ternaire
si Ton pose
A = a'a'— 6», A'=a'a-6'î, h" = aa! - b"^.
les conditions pour que la forme soit définie et positive sont que les quantités D, A, A', A", a, a', a" soient positives. Dans le cas actuel, D est le déterminant du Tableau (E). Or, si dans ce déterminant on ajoute les éléments de la deuxième
ligne multipliés par u' et ceux de la troisième multipliés par - à ceux de la
première, celle-ci a ses deux derniers éléments nuls et il vient
Ur
quantité toujours positive. On trouve ensuite
A > o et h."> G exigent que l'on ait
= î^(a'«-ha'«-f-2p')î,
u'^-{- tt'*H- 2V'<0,
et cette condition suffit pour que Ton ait A' > o, carde 2 t>'< — {u'^-\- w"^) il suit p'2>|(w'2+«"^)^ Enfin, on a
a' est toujours positif; al' le sera si (9) est vérifiée, car ai''^— («'''-^ w"*) entraîne 2 p'< — (a'^— w^»); enfin, pour que (9) entraîne a>o, c'est-à-dire 4^'< 2v/3 u!u!'^ w'2 ^^//a^ il suffit que p^n aj^
or celle inégalité est toujours vérifiée, car elle se réduit à
Ainsi la seule condition nécessaire et suffisante pour que la forme considérée soit définie et positive est que Tinégalité (9) soit vérifiée.
Telle est en même temps la condition pour que les séries Q soient convergentes. On voit que /' peut être quelconque, mais le point (a', a", ç'') doit être situé à l'intérieur du paraboloïde de révolution
Nous avons posé u=^ u' -^ iu'^^ (; = ç;'-|- tV"; posons maintenant
m, /z, Pj q étant des quantités réelles, nous aurons
d'où
u'^-h u"*-^ IV = (ni j -h j/**-!- ^P — q =: m^— mn'\- n^-^-ip — q = awi -+- P -h ('i-
Ainsi la condition (9) exprime encore que le point {u, i^) doit être à l'intérieur d'une certaine hypersurface de l'espace à quatre dimensions (m, /i, /?, q)
ni^ — mn -h /i* -h 2/> — q = o. *
Enfin, cette même condition (9) peut s'écrire, en introduisant une troisième variable complexe d'Iiomogénéité w et sa conjuguée (V|, sous la forme suivante :
(10) F = uui-{- vtvi-hvivff <io.
