IV. — Relations entre les fonctions
195. N étant une caractéristique quelconque et S/ Tune des six substitutions, les trois transformations S)-, SJ, SJ fournissent trois valeurs de 0^'X^) 9^^ peuvent s'écrire
où Y et y' sont de même que A des racines huitièmes de Punité qui dépendent des caractéristiques. Avec les fonctions impaires, on aura de même
(87) A3rJ/U3?) = c«^9î''3rj|,(a7<«) = Y^«^'^^**^N.(yO = Y'^'«^'^*'''''2rN.(^u)).
Il existe des caractéristiques N' et N" qui sont les transformées de N2 et N3 par la transformation S^-; si Ton cherche les trois expressions de ^^'^(^r) ei de ô!{'!(^) comme on a cherché celles de 6jÎ'(j7), on trouve
où N^y N2, N3, Y) y' désignent les mêmes quantités que dans la relation (86). En procédant de même pour les fonctions impaires, on trouve
A'3rj/;(x) = e^9Ï''^ti,{^^'^) = eï-'Xc«^??**2r,^,(^t^0 =- -y^*e'^9T'*2fs,{z^^),
où e = ±: I et N<, Nj, Nj, y? y' désignent les mêmes quantités que dans la relation (87). (Avec les coefficients choisis plus haut s est égal à + i pour toutes les substitutions sauf pour les deux dernières.)
On est ainsi conduit à des groupes de relations qui peuvent s'écrire, dans le cas des fonctions paires,
ej,,(a;t«)= YXe«^î??'*-?'i*'J6N.(>^t'o = yxîc«'i?r*'-?i*'ieN,(^t/)),
(88) ( ^«•(^''^) = 2!xeit'i??^'-?î'«iÔN,(>^t'0= - X>eiî'i?r''-?;-»^«ie.N.(^t''0,
6N,(iP^'^ ) = -^ ^ e«/[çîx«-?îx«i 6:,, (y^t) ) = ^ X« c«'i?r'x«-9i*«i 6», (-«t« ),
R. ALEZAIS.
et, dans le cas des fondions impaires,
gL Xe'«i??*'-?lx«]^j^^(^(/))
i Xt e'^iifT^* -9i''i StnX «t'O,
:^,(ar(') ) =—- ^X e^'tçfx'-çî^'i 3rN,(j'i'0=— e-^^'^?^'^^^'"-^'*'' ^n.(-s*'0-
Il reste à montrer que ces relations sont compatibles entre elles ; nous y arriverons en nous appuyant sur les remarques suivantes :
196. A part la fonction Sr^ qui est toujours transformée en elle-même, on voit que les fonctions se séparent en groupes de 3 qui figurent ensemble dans les mêmes relations; on trouve que, quelle que soit la substitution considérée, les fonctions sont associées de la même manière. Dans le Tableau suivant, j'ai mis ensemble les fonctions qui figurent dans un même groupe de relations :
et5,
Oi6,
^ÎO,
Ôî7,
6îiï
Qjii
Ôî9»
ôn>
Ôî3î
Oiii
Su,
^to>
Ôiiï
Pour un même groupe de relations, les quantités y et y ont mêmes valeurs, quelle que soit la substitution S/.
198. Quel que soit {, on a les identités suivantes (elles se vérifient de suite pour 84, S2, Sj, car pour 1 = 1,2, 3, ç)a:^=o, oJx^= — X^a:J = — ^^^ÎJ*',
la troisième identité résulte évidemment des deux premières.
199. Enfin, si Ton désigne par S et S' les matrices suivantes
on trouve, quel que soit 1,
^U)=£8a?t«, ^i« = e5'art«,
où e est le signe qui figure dans les relations (89).
SUR UNE CUSSE DE FONCTIONS H YPERFUCII SIENNES. l6l
Les matrices 8 et S' vérifient les relations suivantes : (9«) S* =5', S'« = -§,
d'où il suit
200. Il résulte de ces propriétés que les relations sont les mêmes quelle que soit la substitution dont on les déduit et que chaque groupe de relations tel que (88) ou (89) se réduil à deux relations distinctes.
En efiel, dans la première relation (88) et dans la première relation (89), posons
a?<« = M/a? = /, d'où il suit
x = Mpt, ^wJ=e8/=7, >5^'J= 8 8'< = 5, nous aurons
relations indépendantes de i^ c'est-à-dire indépendantes de la substitution qui a servi de point de départ.
Posons maintenant dans la seconde relation (88) et dans la seconde relation (89)
d'où il suit
ar = 6M7' 8'-i / = — eM7* 8/, a?WJ = M/ar = — e 8/ = -7, x'," = — j^j = XV„
yU) = £ 8a?w) = — 8^^ = — 8'/,
ç'^iPî— cpjar» = — X«arf^'*=-/}, ©7^?*— (p;.a:«=Xx</>*=XV|;
nous aurons
es,(-6oO = ^Xe-'"î6.N,(-8'0= -X*ciï'XwJ0n,(O,
&j^^(-680 = £-Xe-«''î3rN,(— 8'0=— -^•«^'^''î^N.(0-
En résolvant par rapport à Ox^(^) et 2r>-,(^) et en tenant compte des parités des fonctions, on retombe sur les relations (92).
Enfin dans les dernières relations (88) et (89) posons
^t« = s 8M/a? = t, A. ai
d^où il suit
x^i^ = UiX = Ê 0-» ^ =— s ô'/ = — 5, a:'/> = — -«ï = — Xf,, X = eM;* 8-i f == — êM7' 8'f, z^i^ = e 8'M/a: = S'S-J / =— S'»/ = §/, «p^.x»— o;a;S = — X«a7;''' = -X«3Î = — X/|, çra:«-©;.x«=Xar</)' = Xz| =
nous aurons
2r^,(-£8'o=~~Xe-i^/X/;&,.^(0 = -eIX«e'^//;&x,(80;
en résolvant par rapport à 6x,(^) et S\,(/) et en tenant compte des parités, on retrouve encore les relations (92).
201. En résumé, les relations auxquelles nous sommes conduits font connaître ce que deviennent les fonctions et 2r quand on fait subir aux arguments deux changements particuliers, à savoir quand on remplace x par Zx ou par S'x. Le Tableau suivant contient un système de relations distinctes; toutes les autres s^en déduisent facilement^ grâce aux relations (92).
ix) =
or:r) =
Xe-'î')^'-'
Xe-wX2j:
si-.
si
Xe-ii/X«x
Xe-ir/X«j:
Xe-Tc/X'j:
Xe-iriX«jr
0*(8.r), 0„(ar) =
Oj(8^), 0,9(37) =
07(80:), OaiU)
Xie^iXx
\ie,tti\x
Xigiulx
Xtei^<'>^
Xî^TC/Xx
Os(8'o:)
08(807), Ô3,(a:) = .l-lX«e«'X;r50g(5'3,)^
i±JXe-«'^'-rî09(8x),
0«(o-) = L±Jxe-^^>.'^-;0,o(8o:),
^le-rJ-k^'l^niox), Xe-^A«xJe„(8o'),
08*(or) =
Xïeii/Xxj0g(§'^)^
i^Xïe7ti).x;e,o(S'a:),
-X»e^'Xx;0,t(o'o:), — X«e'^''^*Î0,,(8'or);
— X e-^i'k^A 3r|( oar) = \W^i^A Sr,( o'ar),
Xïc«/Xx;2rj(8':r),
Xe-itA«4:;^3(5;p),
ZllZL?x^-«'X*'î&5(8a?).
Xe-icA«*;3[,(a^).
lte^^">^\%(o'x).
Xîe«/Xx;s.(8'ar),
xte«^xx:2^.($'ar.),
Xîeni-Xx;Sg(a'a:),
lie^f^'l^i-iiù'x),
202. Les relations que nous avons trouvées sont compatibles en supposant les signes de U] et HJ pour ^ = 4, 5, 6 déterminés ainsi que nous avons fait. Je vais montrer que l'on ne pouvait déterminer ces signes autrement.
Supposons que, pour une valeur de i, nous ayons écrit les unes au-dessous des autres les relations analogues à la première relation (88) et relatives aux trente-six valeurs de l'indice N|, puis que nous changions le signe de HJ', par exemple; les derniers membres seront tous changés de signes sans que les autres soient modifiés. Une relation entre deux fonctions déterminées hy. et O^. s'obtient soit en prenant N| = N/, N2=Ny, soit en prenant N< = N/, N3=Ny; de la première manière on obtient la môme relation qu'avant d'avoir modifié le signe de HJ'; de la seconde manière, on obtient une relation qui se déduit de la première en changeant le signe du second membre. Ces deux relations ne pourraient être compatibles que si les fonctions qui y figurent étaient identiquement nulles.
Comme le même raisonnement vaut, quels que soient les indices et aussi en remplaçant HJ par H'^, comme d'ailleurs toutes les fonctions ne sont pas identiquement nulles, il reste établi que les signes de H" et HJ sont bien déterminés.
203. On peut se servir des relations que nous venons de trouver pour éliminer des équations de transformation toutes les fonctions ^^ dont l'indice est supérieur à 12 et toutes les fonctions Sr^^. dont l'indice est supérieur à 10. On obtient ainsi des formules de transformation où ne figurent plus que 22 fonctions; elles se séparent d'ailleurs comme auparavant en trois groupes; le premier contient 1 2 fonctions paires, le deuxième contient l'unique fonction S, , le troisième contient 9 autres fonctions impaires. Ces relations sont réunies dans le Tableau suivant,
R. ÂLEZÂIS.
OÙ j'ai posé pour abréger
^-Hiçia»
■ ic/ç'jjr»
w,= «iîO,«*î^',
fSi
',= C-«Aai*\
Relation* de transformation entre les douze premières fonctions paires.
Oi (:«?',
) = O-iC*),
e,(4f-) = e;(ar),
) = V^ix),
e,(ar') = e'.(*),
e,(*-) = eî(r),
e,(af'
et(a;';
64(83:')=— tX«ro,e',,(«),
0»(8ar")= tX«nj, 67,(3?),
> = ^.(ar),
e,(8'x')-Xni',e',(a:),
e»(8«") = tX«w,e;(x),
e,(8'a:') = »Xi!T',6;,(ar),
6,(S'ar") = Xc»',0;(«),
OïCaj») = 0\(x),
eg(x';
1 = e'.cx),
e,(8ar') = »X«nT,6',(ar),
e,(8a;") = — tX'BT, 07,(ir),
e,(ar']
e,(S'a?") = Xni',e;(a?),
6,(8ar*) = iX«iB,67(af),
6i.Ca?';
(=-e',(ar),
e,o(8'ar') = -»Xw',6',,(a7),
6|o(8'x*') = Xbj'j67o(*)»
| = XBr', 6',,(a:),
e.i(ar')=-6',(:r),
e„(SiP") = x«nj,e7(a?),
t = Xta',e',j(ar);
e„(ar')=-0;(a;);
e„(8ar') = X«ro,6î(ar);
6,(xiv;
0,(8a?v) = X»X,w,9j(ar),
e,(8Tvi)z=X«X,w,eî'(a:),
) = .-Xve'/,(«),
e,(8'arv) = XXjro',9ï,(x),
6,(*vi) = X.0î'(a:),
1 = - tx» eyca?),
e,(xv) = X.6ï(x),
6,(8'arv>)=-jXX,Tiîi9r.(a:},
6t(ariv;
1 = - X» eï'(x),
e4(8arv) = X»X5W,eï(a?),
64(8a;vi) = X«X,ro,eî'(:p),
i=-XteV(x),
e,(8arv) = X«X,tij,oy(a;),
e,(8a?vi) = X«X,ro,eï'(a!),
6,(ariv)
e,(8arv) = X«Xtro»0ï(ir),
6,(8xvi) = X«X,nj,eî'(;r),
07(ar>v;
(^-.-x^eï'c*),
e7(8'arv) = tXX.w', 6;(3:),
67(8iFvi) =— X'X.ra, 9y',(ar),
) = -iX»eV(ar),
e,(xv) = x,6];(*).
6,(S'a:vi) = j-XX,»»; eî'(x).
)=-iX,%'!{x),
6,(xv)=-Xs6y,(a;),
6,(«v.)=:X.eî;'(ar),
) = ix,(i':{x),
e,»(8'arv) - tXX,roi eî(»),
e„(8'a7vi)=xx,ni',e;-'(jr).
eiiCa:"':
9ii(8a;v) - tX«X5W,e^(«),
e„(8'arvi) -— tXX,w',eï'(ar),
e„(8xiv)
= X«X4tiT4e',V«);
6„(8'xv)=jXX.raiOÎ,(a7); Transformation de la fonction 3|.
e,«(a?v.) = ,-x,eî'(*).
2rt(*') =
= yt(^h
2r.(a?"') = 3r7(ar),
S,(8ar')=-X«nj,&';(x),
2r,(8a:'')-— X«TB,3t7(a:),
= Xw',S',(«);
&,(8V)=XtB;S'.(x);
&,(8'a7-) = )wiS7(x);
2r,(ariv^=
= Xt2r7(a?),
&,(TV)=-X,&ï{ar),
S,(arv.)=X,&î'(x),
S,(8«v) = X»X,ro» 2rî(ar),
&,(8a:vi) = X«X,w,3î'(ar),
3f,(8'afiv) =
= XXn»;-2r7(a;);
&.(8'xv) = - XX,TS',S^(»);
&,(3'a:vi) = XX,w;&î'(a:)
SUR UNE CUSSE DE FONCTIONS HYPERFUCHSIENNES.
Relations de transformation entre les fonctions 2^^, ^3, ..., ^9, ^10.
^jC*»
Xw', &',(»), ajCS'*»
= Xw;2r;(a?),
ln,\y,{z),
= — » Xw', â^ (a?).
3r,(8'ar'
— - — Xw /a
Im't^.ix),
iX«TïT,3r;(a?),
Xwi 3r?(a:),
S7(*'')==^^'3:(x), a,(8'«"') = XtiT',arJ(ar),
Si
2r,(anv) 3r,(aMV)
Sus*'*)
&,(*iv) = Xv&?'(ar),
3,(afiv)=X4&ï'(«), 3,(a:i»)=-X»SÏ'(a:),
&,(8xv)= l±-ix»X,B,3'î(«),
3,(5arv)=tX«X,w,3î(ar), ^,(8a^v)= :zi±ix«X,w,3î(»),
S,(8':fv) = L±ixX,B;S;(a-),
3,(xv)=-X,3f;(»),
&„(8'afv)= î__!xx,w', 3?(af);
va
