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i ^ al'.

i ' oy.

Les multiplicateurs sont tous de la forme - où |jl est le dénominateur de la

l68 R. ALEZAIS.

subslitution et par suite le même pour toutes les fondions; e est une racine aouzième de Tunilé. Le quotient de deux fonctions symétriques et homogènes du même degré des douze fonctions 0^^ (/ =z i , 2, . . . , 12) est transformé en lui-même par toutes les substitutions du groupe : c'est donc une fonction hjperfuchsienne appartenant à ce groupe.

On remarque que, pour chaque subslilulion, le produit des racines de Tunité qui figurent dans les douze multiplicateurs est une racine cubique, il en résulte que la fonction

it

est aussi une fonction hyperfuchsienne appartenant au groupe S.

â07. Un autre exemple de fonctions hjperfuchsiennes construites avec nos

fonctions 8, ce sont les expressions de 1 et i trouvées dans la première

partie. Si ces expressions étaient entièrement déterminées nous serions maintenant à même de vérifier leur invariance quand on effectue sur e/ et c une des substitutions fondamentales du groupe; ces expressions contenant une demi-période indéterminée, on peut se servir des formules trouvées dans cette dernière partie pour essayer d'achever leur détermination.

Pour que les expressions de i et de i soient toutes deux invariantes,

il faut d'abord que, pour chaque substitution et pour chaque valeur de /, la fonction 64 [^^'^(tt, ç')] soit transformée en elle-même, ou reproduite multipliée par

un facteur; car si, dans i > par exemple Oi[^^*^(a, ç»)] était transformé

en 6j [x^'^ (1/, v)\ 1 ne pourrait pas être invariant.

Supposons cette condition réalisée et soient

les facteurs qui s'introduisent quand on eflectue la substitution S/ dans les produits de fonctions qui figurent dans les expressions de i et de i ;

d'autre part, remplaçons E' et E'" par E'(w, ç^), E"(w, i'); il faudra encore pour que I et 1 soient invariants que l'on ait à des entiers près

en dësignaat par E'[S/(m, p)], E''[Si(w, i^)]ce que deviennent E'(w, (^), E''(w, v) quand on effeclue sur u et v la substitution S|.

Je laisse pour le moment de côté cette seconde condition, la première va nous

permettre de déterminer la demi-période — > —> —• * ' 1 '1 'À

208. X et y sont donnés par les relations (28); je les écrirai de la manière suivante, en modifiant un peu la valeur de E,

Je désignerai par :r^'^(w, i^) la lettre-multiple qui a pour éléments jr/ (;/, v)^ x\^^{itf r), x'^\i/^ r); je désignerai aussi par a:(r/, r) une quelconque des quantités a:^^'{Uj i^).

Il est facile de vérifier que l'on a

(95) { a:i(a, P) = |Jl,(X — X')M— fJl,X«— ix\-h ^y

où les |jL sont des coefficients numériques. Les valeurs qu'il faut donner à ces coefficients, pour reproduire les siK arguments, sont contenues dans le Tableau suivant, dans lequel {i) représente la lettre multiple x^^^(u, v)] j'y ai joint les valeurs de certaines combinaisons linéaires de ces coefficients qui nous seront utiles; on remarque que ces dernières valeurs sont entières.

Kl

2[lî —

200. Les fonctions 6 que nous considéro^dépendent de u et de p par leurs

Î70 R. ALEZAIS.

périodes et par leurs arguments. J'ai désigné par

ce que devient la fonction 0^(j:) quand on effectue la substitution S/ sur // et v qui figurent dans les périodes. Je désignerai maintenant par

ce que l'on obtient en effectuant la même substitution dans l'argument x^ff\u, v). Enfin, je désignerai par M)-, M^' , MJ les matrices de la forme a -h Ta' telles que l'on ait

X^i^ = M'iX, y^i) = M -37, Z^i^ = ^\'iX,

Ceci posé, si l'on effectue sur u et v la substitution S/ dans la fonction

on obtiendra

et suivant que l'on appliquera la formule de transformation relative à S< sous l'une de ses trois formes S|- , S* , SJ*, on obtiendra des formules de l'un des types suivants

6.;i>j^[SK«,.')]| = a; h^/*"''' l'"'"'''"'i'eN- |m:.x[s,(«,p)]!, es/' la'fSK", «>)]! = a;x ^,c«'*îî^"<'"'-'"i|'es. i Mjx[s,(«.i')]!,

Le calcul montre que les arguments des seconds membres sont, dans un ordre qui dépend de chaque substitution, égaux, à

augmentés chacun d'une demi-période, o et 8' étant les matrices du n*^ 129. On trouve de plus qu'il est possible de déterminer la période /?i, /?2, p^ de manière que, N étant égal à i, on soit toujours ramené à la fonction 0|[x(/^,r)] à la condition : i** de débarrasser les arguments de la demi-période qu'ils contiennent et 2® d'appliquer les formules du n*' 201 qui expriment les fonctions Q aj'ant pour arguments Sx et ù' x au moyen de fonctions ayant pour arguments x. Pour chaque substitution, c'est sous la première forme que j'ai effectué le calcul.

Je rappelle ici la formule qui permet de débarrasser les arguments d'une demipériode.

Soient T et y deux lettres multiples ayant pour éléments (Ti, o'2> ^3 el<r', , «"a, ^-j,' désignons par O^- et By des fonctions paires ou impaires ayant pour caracté-

risliques y, q' et q -^ t, ^'-f- 0^, c'esl-à-dire

f^i ^t ^3 1 f^i-+-<'i ^î-^ffi ^j-H^Tal

on a, en notations abrégées,

Dans celte formule, les 0- et les <s' sont des entiers quelconques; s'ils sont tous pairs, on retombe sur la formule aux périodes entières dont la formule (29) est un cas particulier. Dans la formule (97), la caractéristique N' n'est pas réduite; sa réduction introduit un facteur zh i que je n'ai pas besoin de calculer et que je désignerai par 7\.