Transformation ?>\, — {u^ v^ X^w, v

On a, d'après les formules de transformation (n** 176),

Je vais établir que l'on peut déterminer />|, /?2, ^3 de manière à avoir

M',ar[S|(a,o)] = - 82r{M, v) -f- -(a -h tci')

avec

CI, = 0, (J2=2p2,

CTj = O,

<j', = 0, o', = ap',-f-î, <r'3 = o,

P2 et P2 étant des entiers.

On a, en effet, en désignant par /?f ,/72} Pz ce que deviennent /?<, /?2> Pz quand on effectue sur u et v la substitution S| {voir n" 154),

( ■ ■; il

[Jl, [ W«H- ( X — X*)(;] 4- fil A M — A [Jlj H- i-i

\Li X a* -f- jxj X» w -h fji'i -h —

jxj X M* -+- fJLtX* a H- H^'i -1- 7-

[1,(1 — X)a — |ji,X»— [ji'j-h ^

[Il [X*M»-f- (X«— X)l^] + |X,M + [jl'i — ^

et, d'autre pari,

R. ALEZAIS.

ix(M, i;) = j O —

[jii[X««4»-f-(X — X*)(>]-4- }XjX*a — 'Xii\

HLi(X-X2)W-IJL,Xî-fx',^^^

[ji, w« -h jjLj a H- n'i -4- ^

- fZiXM«-4-(jijX»a-[ji;X*« — ti',H-X««/^ - ^ — |i,(i — X)w-f-|jiîX-f-fz',X»-X*^

jj,,[Xîw«-f-(X«-X)t^]4-HL,w-fi',M-K'i-+-Ç-+'"Y

Il faut donc et il suffit, pour que les trois arguments vérifient la relation (98), que Ton ait identiquement

pjX«w-+-|A'i-h ^

= ~ (x,X«M H- Ht'jXîw -h [x'j - XîmÇ -h Ç

- jjL, x« ^a; ^ Ç = - |.,x - ,x; x« H- x« ç - (p; -

KjW-f-rt-:^-.

Posons

y?l= Vi4- VjTiiH-

'l'Clî

va^is,

/Jj = Vj -h V, Tii -h V, Tjt + V, -Cjs,

y?3 = V3 -+- v'i Zix -h V J T32 4- Vj T33.

La seconde des équations (9g) devient

— ^JijX*— [ji',-+- -(v,-+- v'jXa — v',X«H- v'jXîa) = fAî-t-fXjX*— fJi',X*-+- -[v,X*-Hv'iXM-hV5(n-X*)-+- VjX^a]— (pi -h - jXî-up,.

D'où, en égalant séparément les coefficients de X^ et les parties indépendantes, ce qui revient à séparer les parties réelles et imaginaires,

v,-+- 2v', =— 2(2|ji,-- fJi',) -h ap',-h I

Pour les arguments (i) et (6), on a [Ji2= [J^2= o; il vient alors

Ces relations sont satisfaites si l'on pose

Vj=Vj= — I,

Avec V2 = Vj = — I , les relations (loo) deviennent

Les valeurs qu'elles fournissent pour pa ^^ p'^ sont contenues dans le Tableau

Quant aux autres relations (98), avec V2=v!j = — i, elles sont identiquement vérifiées en vertu des relations (îoi); on le voit facilement en tenant compte des identités suivantes :

— X* upt -*-/?! = /?3 H- 3 X* a,

—y?, — upi^ pz = — pi— ps-\- i u.

On a donc bien la relation (98) à la seule condition de poser

vi= v; = — I.

Adoptons ces valeurs, puis débarrassons les arguments de la demi-période -(t-Htt) au moyen de la formule (9^), enfin appliquons la formule

e„(S^) = ^i-^'Xîe^'-^^'-; 6,(57),

qui se déduit de l'une des formules du u? 201 en y remplaçant o? par Sx; nous aurons successivement

^\\x[Si(u, v)]\ =eiîM>[S,(M, P)]î = 0, rSa7(a, p)- i(J^-TJ')l

2H. Transformation S'^. — [a, r, X^w + i — X, (^ + (X — a^)^ 4- X*— i]. On a (n« 179)

R. ALEZAIS

et la fonction 0? a pour caractéristique

ri «41

Nous allons voir que Ton peut déterminer la période />i, />2) P% de manière à avoir

(io3)

M',iF[Sj(M, p)] = — oa7(M, v) -^ — ^ff -h Ta')

avec

tr, = 2ipi-i- I

«Js = 2 Pj -h I

po P29 p3) p'2 désignant des entiers. En débarrassant les arguments de la demipériode, on tombera sur 625 \^x{u, v)\\ or nous avons vu, au cas précédent, que cette dernière fonction ne diffère que par un facteur de 8| [^(m, v)\.

En désignant maintenant par/?^, />2} Pz ce que deviennent />i, /72, Pz quand on effectue sur u et i* la substitution S2, on trouve {voir n** 157)

Mja-[Ss(M, p)] =

|ji,[a»-ha-X«)v-(-(4X— i)a+3X«]H-[ji,(X« + X«— — 2[i', -h ^-i

|x,[(i-X)a-3X«]-.u,X«-ri-+- V [jl,[Xm«-+-2(X»— i)a — 3X]-4- ti,(Xïa-M — X)-+-|jL'i-h^

IJL|(X w»-i- 3X*w -+- 3) -h fjt,(X» w -h 2) -h jjt'ijx, [(, - X) w - 3X«] - ti,X«~ fx; -t

jjL, [X« M«-4- (X«— X)(; -h 3 a — 3] H- fjL,( 1/ — H- |jl'i -4- 2fx', — ^

En écrivant que les seconds arguments vériGent la relation (io3), on est conduit aux équations suivantes :

On peut faire

on a ainsi

(io4)

^1 — îi^s = — a( jxj-h [i; ) — 2pj,

pî = — (t^î-t-l^j)»

Pi= 3{Xi-f-2îIi— fl',— 2.

En faisant v', = 73=0, on a

(io5)

Pi Pt

= Vi — X*M,

= — i-hX«,

= Vj — w.

En tenant compte de ces valeurs et en écrivant que les premiers et les troisièmes arguments vérifient la relation (io3), on trouve, quels que soient V| et V3,

P3 = — 3 fil — ( |X, — 2 [l', ) -M .

f^es valeurs fournies par les équations (io4) et (106) pour pi, p^, ps, p!j sont contenues dans le Tableau suivant :

?i=Pj Pï

On obtient la formule suivante^ qui est entièrement semblable à celle du cas précédent :

6';îa7[S,(w,i;)]|=6:[^3ar(w,0-^(<'H-'^^')l

iti(fp;-»-j.r-X'j,(i*,.')+i(tp;-i-i)X«l .

L» JBi[x(m,p)].

= Tj — — A*e

212. Transformation S3. — [a, r, X^a -|- i — X», p 4- (i — À^)// H- X=* — 1] On a (no 182)

07|:r[S3(a,p)]l=e,|Mix[S3(M,O]!,

el 63 a pour caractéristique

Il faut donc que Ton ait

avec

ff, = 2p„

(j;=r 2p; -hi,

P's) po p2) P3 étant des entiers.

176 R. ALEZAIS.

En tenant compte des relations (io5), les expressions (gS) deviennent

rio9)

H(X - X«)w - (^,- i)x«- ii\ - i.

On a donc (n° 160)

M'aXfSaCajP)] =

|x,[i/«-+-(X--X«)p-f-(5X — 2)w — 6X]h-^|jli — lWw-hXî--X)— a.u'j-T-^

j^,[(,-.X)w-+-3X]-(lA,-i)x«-fx;-i -2(X«— X)w -3X2]-4- ^fji,- iVx«a-M — X*)-r-ti',-h ^

{x,[Xm'

|JL,[X«WÎH-(X«-

3X«w + 3] 4- ({!,- i)(X«« + t) + fi; ^ fxi + ^ -f- J

HL,i(i-X)ii-4-3X]-(fx,-i)x«-tx;-i

— [JL|Xw'-î-(|JLj— 1)X*M— [JL',X*a — |Jl', — -^

>0^] -+- ( l^«— i)a — jx', a - |x', -h ^

|JL,[X««f«-4-(X»

En écrivant que l'équation (108) est vérifiée, on trouve

pi = 3 fxi -4- 2 jiî — ii\ — 2, Pi=— pi = 3fx,-t-|x,-Hfx',,

Ps = — 3fXi— (2,U,— |ii)-t-i.

Les valeurs de p^ sont les mêmes que dans le cas précédent; quant à celles de Oi, de p2 et de pa, il suffit de remarquer qu'elles sont manifestement entières. On a

(no)

= T, — - — X'e Lî •^« ^^i[x{UyV)l

213. Transformation S\. — Je la prends sous la forme suivante

/ X»M p^-X — xn

(«'"•—'—il—)'

|JL= fJL4=:(X — X2)i'— 2.

en posant

On a (n« 185)

e7|^[Sv(«,p)]î =|ie'^'?'^l'^«'^'''^'^i etiM;:r[S,(a,P)]!.

Nous allons voir que l'on peut déterminer v< et V3 de manière à avoir

Miar[S4(M, v)] = — Sa7(a, p) -4- - (<t 4- xcr')

en posant

ai =2pi,

ff'j = 2p',,

as = 2pt,

P<) P2î p8î p'n p'2? p'3 ^^31*^'^ ^^s entiers; on sera ramené, comme dans les cas précédents, à la fonction 0|.

On a (n° 163), en éliminant v au moyen de la relation entre v et [x,

\ut o — a* -h |JL (I — X)tt I (i — X«)a X' M* — [ji O — X a* — jjL

/"* I \ / i\ Xm , Vi

Xk«

/ I\X«14 , Vj

fjiiXtt«-H^{jL,— i^X»w— [ji'JCX — X»)m— jx]-4-^Xa«-+-^(— w»-4-(ji) fji,(i — X)w— /'fji,— i)x«-+-3[jL',Xa- fi; — - -i-ïl(ï — X)M -4-^(1 — Xî)t/ fXi[X«a«-h(X*— X)i;-4-3]-+-('iJL, — i)w-tx;[(X«— i)wî— tJi]-4--(X«a»-|JL)-~-(Xaî

En écrivant que les seconds arguments vérifient la relation (ni), on trouve

Pï = — (f^i-^t^i)»

sjx;

21^1— fx, — 2,

3fJi\-f-v,-*- - =pi.

Ces dernières équations permeltent de prendre

Vl= Vj= o.

V| et vs étant ainsi déterminés, on a d'abord

(ii3)

Pt = pi = -3(^',,

R. ÂLEZÀIS.

et Ton trouve que tous les arguments vérifient la relation (iii) en ajoutant les conditions

(ii4)

pi = — 3fx',, pa= 3(f^i— n',).

Les valeurs fournies par les relations (i 12), (i i3) et (i i4) sont contenues dans le Tableau suivant :

Pi = Pi =

Pi = P'a

Pî

On a la formule

(lô)

en posant

* = ap'i \y\-^yi

-hi

I r , / N 2 Pi -+- * . xi )

— -|p'i('Cn-f-2':i3-4-':3j)-+- -^ (x„H-T„)|j

)\yt— ^Up',(Ti,-hT,3)-*-(9-pi-Hi)-jiJ|

-^ ( '^ pi

2p',(x,- Xwarj) — (5^-pi-^0^'^t+^[(i — >^)w*-+-a(^ — X»)p]

-4- p',(2p2-+-r)Àa-t- -- (2p5-f- l)*XV

214. Les calculs précédents ont suffi pour déterminer entièrement la période /?<, P2^ Pi] on a (io5)

[ Pi = — T„ = — X«a,

< /?, = — Tj,— I = A»— I, f />3 = — T,, = — W.

Les valeurs des arguments sont fournies par les expressions (109) en y faisant V, =:= V3=: o ct cn dounant aux ui les valeurs du Tableau (96). Il est inutile de les

écrire, car il y a avantage à débarrasser les arguments de la demi-période ^> —•> -~'

Comme elle correspond à la caractérislique

Cl:)

la fonclion 0| se trouvera remplacée par la fonction impaire SF4 qui, ainsi que nous l'avons vu, n'est transformée par aucune des substitutions en une autre fonclion, mais est toujours reproduite, multipliée seulement par un facteur.