XV' = X

On a, en verlii de la formule (97),

En appliquant cette formule à chacune des fonctions qui figurent dans les

expressions de i et de i > on voit que les facteurs qui s'introduiront

seront respectivement

Ces facteurs sont égaux à l'unité \ on vérifie en effet que l'on a, pour « r= i , a, 3,

(ii6) i;r'ic.î)==(i(.»);(»)=(ic*)-(6))

Ainsi, en débarrassant les arguments de la demi-période, on n'introduit aucun facteur; d'autre part, les arguments reprennent leurs valeurs primitives; en d'autres termes, ils sont donnés par les expressions (20), (26), (26). On peut les écrire

xf^=^ l[Xîa«-X«w — 2-f-(X-X«)i;], ar^,«î= i (X - Xî)(?i -h X), x^}^=^ l(aî-w-f-i),

ï<6^ = -i[X«a«-f-2-+-(X-X*)t;]. 5i,«^ = - i(X-.X«)a, ^(36^ = - ^(mî__ i).

(ii8)

On a finalement

X ( 2rf||[X«M«— X«a-+-i4-(X-X»)p], J(X — X»)(w-+-X), ^(m«— u-+-i)i X ârj ii[X«a*- 2X«« -+- (X - X«)v], J(X - X«)(a - 1), A(m«- 2w)i

^Î[J, o, i]&î[i(X«a-iX -J(i-X«), i(«-i)]

216. Comme vérificalion, effectuons, sur la fonction 3i[:r(//, p)], les substitutions Ss et Se*

On a d'abord (n» 188)

Nous allons voir que l'on peut écrire

M;ar[S5(w, <;)] =— ^(w, i;)-hp-4-Tp',

Pi, P2, P3, p'|, ©2, p', étant des entiers.

Je prends la substitution sous la forme

en posant

|x= jji5 = (X*— i)w-4-(X — X*)P-h X».

En se servant de cette dernière relation pour éliminer v de la matrice M!. = a 4- Ta' (n° 166), on trouve

— X(a«-+-Xw4-Xî) (X*a*-hM — X»}— ut aS-^Xan-Xî^ jjl ^ M'5r[S,(a, r)]= I — X(X«— i)(£* — X«) (Xî-X)m — X (X«— i)(«t — X*)

I— X(a«-+-Xw4-Xî) -X(X«— !)(£*— X« — X*(tt*-^ w -hi) -f-

^X*r^ / ^ !• 1— X ) KiX«r> / ^ 1 /

fjLi — [Xa-+-(i — X)p]*H p/H- c:^ — [Xw-f- (i -X;p] — aix',

fxi [Xi/ -h(i — X)p] — ,aiX*— {x'j

l^[Xa-+-(i-X)i']t-+- !^[Xa + (i — X)(^]H-|ji\

2j-*-fXj[X«i/î-i-X««<-+-(X

.,)jx;[(X«-X)M~X)

(X«— X)p — i| -+- îJL',(a«

— {jL,[X«a«-h(X-X«)(^]-hXfjL,M*-»-fx'i[(X — X»)(M» — t'). -- jjL I ( X — X * ) a -+- fjt 4 [( I — X ) M -H I ] — 3 fjt\ ( X M

En écrivant que les seconds arguments vérifient l'équation (i 19), on trouve

fJLs [(l — X ) M H- I J -— 3 [Jl'i ( X W — l)~ ,U, [( Xî — X ) il — X ] =r JA, X« -+- fJt', -h Pî -+- p'i X« £i — p', X^ 4- p', U.

Il en résulte

(f20) p,= p\ = 3 fX; -f- ^1,— 2fX;, p\ = fX,-h fx',, p', = 3 JX', -f- 2fXi— fz',.

Pour que les autres arguments vérifient la même équation (119), il suffit

d'ajouter

pi = p3=o.

Les équations (120) donnent les valeurs suivantes :

Pi Pi

el Ton a la formule

(121) Sî|a7[S«(a, p)]j = tx,e ^ ' ' «^L « «-J "^ ' «^ '-'3r,[ar(it, p)J,