De même, pour la sixième substitution, on a (n

on trouvera

Miar[S6(a, p)] = — r( u,v)-hp'¥- p'x,

les p et les p' étant des entiers.

Je prends la substitution sous la forme

avec

JJL = fJl6= (X — l)WH-(X~X*)f -hX*.

On trouve, en éliminant ç de la matrice a 4- tx' (n® 169),

Mi:r[S6(

(— X(m + x; -X(X«-i)(w — X«(;4'— M-Hl

(w-i-X)*--|i (aH-X)«— [ji

X) (X«— i)tt — X (Xï— i)(M-hX)

)-+-fji X(îi* — w — X)h-jjl X(m« — a-f-i)-hfjL

^Ht,j^[Xi^4-(i-X«).]«4-^.j

if?l*[X«-h(l-X«)i^]-2îl',

fJLi [Xa-+-(i — X»)p] — |x,X«— jjl;

'— (fXl4-^li)[X»a»^-(X — X«y]^-fx'i[(X — X*)a»H-3X««-4-(Xî-X)i;^-2j-a',[M»-X*M-^(X^-X,^

jjij(X X»)a — tx,f(X - X«)a - i] - 3^ X(w -h X) - jji', [(X«— i)w - X ]

— {tii-Hfji,)w«-i-fx'J(X«— i)£i«-f-3a-+- (Xî— X)P — i] — |jl'j[X«î- „-H(X-X«)r]

R. ÀLEZAIS.

En écrivant que ces arguments vériGenl la relation (i^sk), on trouve

P'i = 3 ii\ -+- 2 [it— ii'ty Pi = p'a = 3 [a', -h |x, -+. jx',, p,= fx,— 2|i;, pi = Pj = o,

d'où les valeurs suivantes

pï = pi Pî

et la formule

(.23) SV!5[S.(«, P)] j = ^.e"'('il"^ls.'"-''"î'-'<"[^'^""'"-l^P'>P"'-P'')3.[i(„, .)]. •

218. Nous avons vu que, pour que les fonctions x et y soient invariantes aux substitutions du groupe S, il faut encore que les expressions ^/(w, ç^), ^/(w, v), dont j'ai parlé au n° 207, vérifient les conditions (qS).

Pour le calcul de ces expressions, je remarque d'abord que les facteurs des seconds membres des relations (102), (107), (i 10), (i 1 5), (i ai), (i23), qui sont indépendants des arguments, ne donnent aucun terme aux expressions W à cause de la sjmétrie des valeurs des p et des p'. On remarque, en effet, sur tous les tableaux de valeurs, que la somme des nombres (1) et (3) est égale à la somme des nombres (2) et (4), et la somme des nombres (1) et (5) est égale à la sommé des nombres (2) et (6); or (i), (3), (5) correspondent aux fonctions qui sont en numérateur, (2), (4), (6) aux fonctions qui sont en dénominateur. Si, de plus, on tient compte des relations (i 16), on trouve

iïr',(«, (^)= SX^r^ri^^— 2ari«^-4-ari'^-h i(a:y^ — ari^^'-hari^^ — a7W')l,• r; ( a, p) = 3 X« L^s) — jr^î) ^ i (a:i«)'- ari') V a^i»)'- x^i^' )1 ,

w;(a, p) = Wl{u, p) = 3X« \x^^^^ — x'^^'-h ^(^ï^'— xi*^V a^î5)•- a^i*^')"],

-I- ^' (arf,»)'- a7S?)"-h x^^'— x^i^*)\ ,

r',(a, u) = Ul(u, V) H- Xî ["- (ari«^- x^^') + ^^{x^^"- x^i^'^ x^}^*^ x^}^')].

\i\{u,ç)=: U'j ( M, t; ) ^ 3 ( r'/ ^ — x'f' -+- a;'j3) - ^;*^ -4- rljt > — a:^3*) ),

^*'i(",i') = n3(«»^)-^-3(:riî^-a7i«'-f-a7'3>^~a:3«0, re(e*,P)=n'e(a,0-4-3(a;V — ^i^^), .

Wl(u, P) = n'aw, P) -h 3(a:^ii>- a7^«'').

En posant pour e = 4, 5, 6,

n;(i/,0=^(?;ix^«^[S,(a,p)]|«-Q',!^<«)[S,(a, !;)];«

-hcp;-t^(3)[s,(a,i^)li«-o;îa?(*^[S/(M,ç')]iî),

^-?;U<»J[S/(a,i^)]î«-(p;iar(*'[S;(a,P)]î«).

219. Il est facile de voir que ces expressions sont indépendantes de la période P\i P2t Pzy on peut donc se servir, pour les calculer, des expressions (117)- Le calcul est très simple pour les trois premières substitutions. On trouve

ar</'-a7(,"=i(X»-X)«,

.y- x'."V .'•'•- xi'.'=|(«.-^x«).

Il en résulte

^i(m, p) = X«a*-+-3XM,

V';(a, p)= Xïw»-f-Xu,

Ces expressions vérifient bien les conditions (93).

220. Pour les autres substitutions, le calcul se complique beaucoup à cause de la nécessité de former les expressions II. Je ne reffectuerai entièrement que pour la sixième substitution, afin d^établir que cette substitution appartient bien au groupe S, ainsi que je Tai annoncé au n° 38. La similitude des calculs relatifs à Ss et à Sfl rendait déjà ce lésuhal très probable.

221. Voici d'abord quelques remarques intéressantes relatives aux trois cas. En posant

a = MH-X, 6 = w — X*, c = ('-+-X,

les trois dernières substitutions peuvent s'écrire

E. ALEZÀIS.

De plus, en posant

a?i -f- iTs = iT* , 5?i -H 0:5 = — Xi

on a

' -+- a?i a7a -f- a: J ) -h (X» — i)a*(xî — 2X'a?iX34- Xar}),

; 4-ar4a:6-+-a;î)H-(X — X*)6*(arî — 2X«ar4Ts-+- Xa?|),

o\x^ — — 'ilii(x]