En posant

puis

x'ij(u,ç) = x'i''xy'-x[''x'/'-i-x\''x'/'~x\''x'/\

XiiC"» ^) -+-X4*(«i «').

on a

|D'e(M, i;)=-2K6Û'JS6(M, P)]-f-(X«-.i)a*ûi[S6(a, 1;)],

Des valeurs (117) on déduit

ar/^ =

i[Xïa«-*-(X-i)a-4-X — n-(X-Xî)i;], i [X«a«-f- aXa -h I — X«-+- (X — X«)p],

ar\5i ==

3(X»a-hi), l[X>a»— 2a-M — X«-+-(X — X«)i^],

iF4" =

ii«> =

xi^' =

Il en résulte

-4- (X»— X)(^[4 X«a«-4- 2(3X — i)a -4- 2^ — X«)] -h 6«»« j, X'iiiu, i>)=i[— 2X«a*— 4Xa»-4-(X»— i)a«— aX«a-i-H(X»— X)i;(2a5— a)],

XViC^i *>) = i(-2a*-+-2a» — 2a-h2).

D'où l'on tire

Q',(M, p)= iJ2X»a'-+-3Xa>— 2X»a-hi-*- vf— 2a*-H( i — 4X*)a -4- 2] -h 2f»j,

û;(a, (;) = |[Xa»— X»a-hP(-:>.X«a-+-i)-f-i'«], et par suite

û',[Ss(", i')] = 3-^i^Xîa»+3X«aVs-2Xafx|+fx}

-i-X'i'f— 2Xa*-4-(X«— 4X)afji«-4-2fiî]-h2Xi^*fX6J, ûi[S«(a, p)] = r^[X«a«— Xafji«-hX«(;(— 2Xa-h|i«)-*-Xi;*].

On a enfin

°i("> «») = 7^!— 2X«a»-3X«a«p«-+-2XafiJ~ti|

-!-X«p[2Xa*H-(4X — X*)afi«— 2fxî]— 2X('*fXe(

(^!__il£! [Xta«— Xa{JLc -*- X*P(— 2Xa -+- lie)-*- Xpî].

On a (l'autre part

E'(it, v)= — 5 — (tt*— 3a — 2P-4-I) = — 5 — [a«H-(2X« — i)a — 2«»-t-2X]

et par suite

E'[S«(u, i^)] = ?^— ^[Xa«+(2X-X«)afx,-2X«pjxe-+-2XtxJI,

avec

JI4 = (X — i)(a — X t») -*- X.

Formons l'expression

Dans cette expression, le coefficient de -j est

a«| '"T 2Xa-+- 2P-+-(X — X*)a«-4- 2(1 — X«)ap-4-(i— X)v« I

= ^^~'^^' [X«-6X'(a-X>.)-3X(X-.)(a-XOt] = (^-'^"''^' . A. 24

l86 R. ÂLEZAIS.

Le coefficient de — est

Il en résulte

r.iro / M *T/ / V /X — I \ 4X«— X 2(X« l)Ç

E'[S6(a, p)]-+-n;(w, V) = ^^— -^ija«-^ ^^—3 a-h-^^ — '-

-H ^ T" h2Xa-f-(i — X)(a--Xp) — X — 2X*p

Enfin en ajoutant

3[a?i«î — a?\*î] = X«a«-4- aXa -♦- X -f- (X — X«)p,

on trouve

E'[S.(M, P) + Vi(M,P)] = E'(tt, P).