II. — Problème d'inversion
9. M. Picard a montré qu'en appliquant la formule d'inversion des fonctions abéliennes due à Riemann, on peut exprimer x ely au moyen de fonctions Q construites avec les éléments du Tableau (D) comme périodes, et dont les arguments ne dépendent que de {/ et de v, A la suite de M. Picard, je prendrai celte formule d'inversion telle qu'elle est donnée par Briot dans sa Théorie des fonctions abéliennes (p. 157). [Aux notations près, elle est donnée sous la même forme par M. Jordan dans le second Volume de son Traité d^ Analyse (p. 624).] On peut l'écrire
mn
e[«,u<«(î;. îi;i)-c/]
nr ^(tk, zk) '] I T-f o[«f— u L'"^'^?(<*, ^t)J ~ E 11 e[ai-U<«(U. 1a)-G/]
On suppose les variables t ei z reliées par l'équation d'une courbe
At,z)^o
de degré n et de genre p; ç(^, 5)=©, if{t^ 5)=o sont deux courbes quelconques de degré m\ (^a, yja), pour /i-=i, 2, ..., mn^ sont les points d'intersection de/= o et de <p = o; (i]i, r.i), pour les mêmes valeurs de A, sont ceux de /= o et de <p + pt. tl = o, où [JL est un coeflicient numérique. La fonction qui figure dans le second membre est la fonction à p arguments dont le /**"• seul est écrit; U^''(^, 5)(« = I, 2, . . .,/?) sont les intégrales normales de; première espèce prises toutes à partir d'une même limite inférieure; U^'^(Çaï fih) est Tune des valeurs arbitrairement choisie que U^'^(^, 5) prend au point (Çy^, r\/^); U^'^(ii, T^i) est celle de ses valeurs au point (Ç^, 7;)^), qui se déduit par continuité de la valeur choisie pour U^'^ (Sa) ^ia) quand on fait varier u d'une manière continue à partir de zéro.
SUR UNE CLASSE DE FONCTIONS HYPERFUCHSIENNES. î3
Les quantités U^'^(Ç';|, 7)j[) étant ainsi déterminées, on sait que Ton a d'après le théorème d'Abel, pour « = i , 2, 3, .,.,/?,
mn
(^4, Zi), (^4, ^2)1 ••• (^/>î ^p) désignent/? points arbitrairement choisis et Ton suppose
ces relations ne définissent les quantités r/|, . . ., r/^ qu'à une période près que Ton peut choisir arbitrairement sans modifier le second membre de la formule; les quantités Ci{i= i, 2, ...,/?) sont des constantes dont la valeur exacte est difficile à calculer; on sait seulement que la somme des valeurs que prennent respectivement W*\ l]^^\ . . ., V^p^ aux points de rencontre de /= o et d'une adjointe quelconque d'ordre /i — 3 ne diffèrent de 2C1, 2C2, . • ., 2C;,que par une période. Enfin E est une quantité indépendante de ^1, ^29 • • •? ^p que l'on détermine en donnant à ces variables un système particulier de valeurs.
10. Supposons en particulier que la courbe /(^, z) = o soit la courbe (11); nous aurons n = 4? /> = 3 ; pour (p=:oetcp-|-[jnj;=o, nous pouvons prendre les droites / = o, t — 1 = 0; cela revient à prendre pour J/ = o la droite de l'infini. Les points (^a, r[/i) sont alors au nombre de quatre, ainsi que les points (Ç][, Va)) mais ces deux groupes de points ont en commun le point de l'infini, et le facteur correspondant disparaît haut et bas dans le produit du second membre; les trois autres points (5a> ^a) sont confondus avec (o, o) et les trois autres points (^\ , r/^j) avec (i, o), nous avons donc
^ ' \ tj\ tJV tt)~ E 0>[«i-U<«(o,o)-G,]
avec
(i3) «,= Ui«(<„*,) + U'"(f„^,) + U(«(<„a,) (» = i,a, 3).
La courbe (ii) n'ayant pas de point double, toute droite est une adjointe d'ordre n = 3; prenons la droite de l'infini, elle a avec la courbe un contact du troisième ordre. Nous aurons
(i4) C.= a UC («,«)- ^ (1 = 1,2,3)
en désignant parpi, p^^ p^ une période convenablement choisie (*).
(*) M, Picard se sert de la droite z = o qui rencontre la courbe aux points (0,0), (1,0), (j?, o), (y^ o). L'idée essentielle de sa méthode est de prendre une droite qui ne rencontre la courbe qu'en des points critiques. La droite ^ = o et la droite de l'infini vérifient toutes deux cette condition, mais la droite de Tinfini conduit à des calculs notablement plus simples.
l4 R. ALEZAIS.
Enfin, le facteur e*^*' se calcule de la manière suivante : D'après la théorie générale que je viens de rappeler, nous avons pour chaque valeur de i trois quantités U<'^(i, o) qui sont les valeurs de U^'^ (^, z) aux points d'intersection de/{t, 5) = o et de ^ + UL = o quand pi variant d'une manière continue à partir de zéro a pris la valeur — i . Ces valeurs de U^'^ (i ? o) diffèrent en général les unes des autres par des périodes', le facteur e*'^''^ est celui qui s'introduit quand on débarrasse les arguments des fonctions 8 de ces périodes, d'après une formule bien connue que je rappellerai plus loin (29). Uf'^(i, o) désignant une quelconque des valeurs de l'intégrale U^'^ au point (i, o), supposons que les trois valeurs déduites, comme nous Tavons dit, par continuité soient
UU)(i,o)-+-/)i, U('J(i,o)-t-K V'Hi .0) -h p7 , où
Pu Piy Pzy Pif Ptf Pif Pif Pty Pi
sont trois périodes; on voit facilement que le facteur e*'^*^ sera le même que si une seule des fonctions contenait la période
Pi=yt-H/>î+/>7, Pi = />î-^/>ÏH-i>;, ^s = Pz-^Pl-^Pz'
Cette dernière période se déduit immédiatement du théorème d'Abel qui donne
3Ui'^ (i ,0) -h P,— ■ 3Ut« (0,0) = o ou, si l'on veut,
Pour abréger le langage, je dirai que les arguments tels qu'ils figurent dans la formule (12) ont été débarrassés de la période P. Si de plus, dans les expressions
des quantités C/, on a laissé de côté la demi-période ~^> t^> — > je dirai que les
arguments ont été débarrassés des périodes P et p,
H. Faisons dans la formule (12) ^, = ^2=^3= 00, le premier membre se réduira à i et Ton en déduira la valeur de E*; puis en faisant successivement ^, = X, t2=^t^^=zco et ts=^y^ t2= t3 = co^ nous obtiendrons des expressions
de I — - et de I • D'autre part, dans ces expressions, les arguments de la
fonction 6 seront des sommes de valeurs des intégrales normales U^'^ prises d'un point critique à un autre point critique; grâce aux calculs faits plus haut, il sera facile d'obtenir les valeurs de ces arguments en fonction de u et de ç^ du moins en négligeant une période et une demi-période; la période sera déterminée par la relation (i5); quant à la demi-période, nous renverrons son calcul à la fin de ce Travail.
SUR UNE CLASSE DE FONCTIONS IIYPERFUCHSIENNES. l5
12. Nous avons vu que les inlégrales normales de première espèce sont
où les quantités /i, A*, /sont fournies par les relations (7); il en résulte
Ua)= (i~^)(^iA3-X «6 3At)Q ^ (i^X )(X»a3At-a tA3)U ^ (!->0\V 3(«i^8— «3^i)Ai 3(ai^3 — ti3ii)Ai ;5Ai
^jr5»^ (^-^')(^iA8~^>3A,)Q ^ (X-X«)(a3At-^a,A3)U ^ (X-Xî)\V 3(ai^3 — a^bi) Xi 3{aibz — a36i)At 3A|
13. Un point critique quelconque est suffisamment désigné parla valeur de l qui lui correspond, soit t cette valeur. De même, pour le point initial (to^ Zq)^ si nous convenons de le placer sur un feuillet déterminé, par exemple, sur le premier, il suffira d'indiquer son abscisse to. Ceci posé, WJ^ indiquera la valeur de l'intégrale W prise du point (^o? -^o) au point critique d'abscisse t, et de même pour les autres intégrales.
14. Reprenons le Tableau (A) en remplaçant seulement à la première ligne a, ^, Yî 2 paro, i, a:, y. 11 est facile d'exprimer les quantités qui y figurent en fonction des intégrales W7,, ûf.? Uf,- O"^ sait, en effet, que le lacet décrit du point /o au point critique t peut se réduire à un chemin allant de t^ en t, à un cercle infiniment petit ayant t pour centre dont la description n'a d'autre effet que de mul* tiplier z par une puissance de X et au chemin initial décrit en sens inverse. On voit ainsi d'abord que l'on a
ai = (i-X«)Wf., p,=(i-X«)W?., y. = (i-X«)VVJ:, a, = (i-X«)W^., 6,=(i-X)W,-;
puis, en vertu des relations (2), on a, pour £ = 1, 2, 3,
j a,= X*-'(i-X»)\V?„ P,= XW(,X«)\V/., ^''^ j Y,= X*-/(i-X«)W5, 8/ = X*-'(i-X«)Wj;, 8/=Xv-'(i-X)W,:;
de même, en vertu des relations (3),
^'"^ j a? = X'-i(i-X)U?., P? = X'-i(i-X)U/., T? = *X'-Ui-X)Uf., 8? = X'-i ( 1 - X ) U?;, e? = X'-i(i-X«)lJ,:.
On passe des coefficients des relations (17) à ceux des relations (17/ en changeant X en X*; on a, en effet,
Xm-/)=Xî-»'=X'-«.
l6 K. ALEZAIS.
Décrire le contour du domaine de Finfini dans le sens direct revient à décrire dans le sens rétrograde un contour entourant les quatre points critiques à distance finie; on a donc, par exemple,
Ceci posé, les relations (4) donnent
A| = p,-HY«-^5,=:-6i-at3=(X-i)Wr.-X(i-X«)W?.= (X-i)Wf,
A, = -a,-p,-Y3 = ^^*~0W?.-+-XHX«-i)W/.-X(i-X«)W;^ = (X«-i)W?-(X-i)W-î,
A,= 6i-4-8|=X«(i-X)Wr.-(X«-i)VV^. = (Xî-i)Wy,
A3=:-p,-i-Y3 = -X(i-X«)W/.-4-X(i-Xî)WS = (X-j)\Vf.
En combinant ces relations, on trouve
A,-+-A3=(i-Xî)W},
X«Ai-(A,-+-A3) = (i-X«)VV;-(i~X«)WS=(i-Xî)W?,
A,-hA8H-X«A3=(i--X*)W«-H(i-X»)Wf = (i — X«)Wf,
X»Ai — (A,-i-A3)-+-A, = (i-X«)WT-(i-X«)W-=(i-Xî)WÎ,
A,-+-As-+-X«A,-A,= (i — X«)\ViH-(i~X«)\V{ = (i — X«)WJ.
Entre les a et les û et entre les h et les U, on a des relations qui ne diiTèreni des précédentes que par le changement de \ en \^ ; on en déduit, en tenant compte de l'identité (X^^— i)(). - i) = 3,
ûî= i^"(Xa,-a,-a3), UT= ^^\xèi - ô,- 6,), WT= i=li(XtA,- A,- A,).
iiï=^«i, Uî=^6„ Wj=^A„
ûf=^^a3, Uf=^:id„ Wf=^^'A3,
"Î=i=^'(aî-Xîa3), Uî= i:^A!(6,Xî6,), Wî-=1:=^(A,-XA3),
ûî= i=il(Xa,-a,), Uî= i:Z^(X^,-63), Wï= i:=^(X«A,- A3),
lii='-^(Xai-+-a,), U;= L=^(Xi,,4-6,), Wî= i^(X»At-i- A,).
15. Au numérateur et au dénominateur du second membre de Téquation (12), les t^™*' arguments de la fonction 8 débarrassés des périodes P et /? sont des fonctions linéaires des valeurs de l'intégrale U^'^ prise entre différentes limites; je désignerai respectivement par N[U^'^] et D[U^'^] les opérations à effectuer sur U^'^ pour les obtenir. D'autre part, en vertu des relations (16), U^'' lui-même est fonction linéaire de û, U, W; on a, par suite, en désignant comme plus haut les coefficients de cette dernière relation par A/, A*/, //,
SLR UNE CLASSE DE FONCTIONS HYPERFUCIISIENNES. I7
16. Arguments de E. — En faisanl /, = ^2= ^3 = 0^ et t^ désignant toujours le point initial des intégrations, l'équation (i3) donne
On a donc
DtUu-^] = 3[Ut/)jr.- [U('']?.- a[U('']r„= [Uî'']î, d'où, en vertu des relations (18),
N[U] =1^(X6, -.^,-63), D[U] =^^i^ N[\V]=i:=^(X«A,-A,-A3), DtW]=^^A,.
Portons ces valeurs dans les équalions (19) et introduisons u et p, nous aurons pour les arguments de E débarrassés des périodes P et/>,
(20) ^ N[U(«^]= i{X~Xî)(u-+-X), D[Ut*'J= 0,
17. La période P est déterminée par la formule (i5) qui peut s'écrire (pour i ■= 1 , 2, 3)
3N[U('^] — Pi— 3D[U^'J] = o.
On en tire
IP, = X« M' -4- ( X — Xï)i^ — X» M, #
Désignons les périodes normales de U^*^ U^^\ U^'^ de la manière suivante :
U^»V I o o T|i Tu Tij** U^*^ I o I o Tu T,i Tî3. .
U^'^I^O o I Tsi T3, T33^
Tout système d'expressions de la forme
/ V1-+- v'iTn-f-v'jTiî-hvixia,
(m) l Vj-f-v'iTîi-^ viT,t4- viTjj,
\ V3-hv', T3i-h vlTjs-hVjTas,
j w3i-r- »£ '•Zt^r- fj
l8 R. ALEZAIS.
OÙ les V et les v' sont des entiers, constitue une période. Or, des valeurs des périodes normales de seconde espèce, qui sont contenues dans le Tableau (D), on déduit
SXîM = "lî, X^U^ -h (X — Xi)ç = — 2-:,,— Tis,
— X«=T„, (X— XÎ)U=— 2T„-T„,
il en résulte
Pj = — 2^11 — Tu — Tij, (24) - { Pî = — ^'^21 — 'îîî— "^23,
P3 = — 2x31 — Tas — tas ; c'est bien un système d'expressions delà forme (22), c'est-à-dire une période.
