N'[W]= ?^ A„ D'[W]= -^ (A,~ XA
et l'on trouve pour les argunients de Ef i j débarrassés des périodes P et p
St'R UNE CLASSE DE FONCTIONS UYPERFITJISIENNES.
Enfîn, en faisant tt =^, ^2= ^3 = 00, on a
ui= Uu-^]j;+2[U(')jr.,
N'[Û] =iZL^(Xa,-a,), D'[û] = il^(Xa,-h a,),
ab^-b,\ D'[uj
(XïA,-A3), D'[W] =
(X«A,-+- Aj),
Il en résulte pour les arguments de Ef i j débarrassés des périodes P et /?
N'[U(«'] = - -3" -|» D'[U^»M= i[-X«wtH-(X*-X)i^-2],
D'[U':2'J= i(Xî-X)«,
D'[U(3J]= ^i-^ui-^i).
II est facile de vérifier que les relations (26) et (26) donnent pour les quantités Vi les mêmes valeurs que les relations (20).
19. Les expressions (20), (v5), (26) sont des tiers de périodes. En effet, en vertu des relations (23), on peut les écrire
iNfUt»^J = — :j[a'C,,-hTij-hX,3-4-2],
D[Uf»']
N'IUU)1= ^xi„
D'[U(iJ]= -[2T„-i-2'C,,-4-Tu],
N'tU(*']= 3 [^21- 2],
D'[UUM= 3[2t3i-^'^-X3,+ T33j;
D-[UttJj=i[2Tn-f-T„--2],
D'[U^»J]=-[2T„-hT„|,
N'lUt8'] = -^[x3,-i],
D'[Ut3)]=i[2T3,-+-T33 4-lJ.
ijC sont bien des expressions de la forme (22) divisées par 3.
20 R. ALEZAIS.
20. Il est en général plus avantageux, de conserver les expressions en u et <*. Pour rappeler que ces arguments dépendent de ces deux variables, j'écrirai désormais (i= i, 2, 3)
(27) / N'[U^'J]-t-^ = :rJ»H",^), D'[U('J]-+-^=a7i>H",<'),
Ce sont les arguments débarrassés seulement de la période P.
21. Soient e^^''^, e^'^^^\ e'^^^' les facteurs qui s'introduisent quand on débarrasse
les arguments de la période P dans les expressions de E, de Em j el
de E( 1 ] respectivement, on aura
Posons
nous aurons
I = gltlE' 1 —
y ^^[co
»^(M, (Oiôn^/'V«. 01
22. U reste à calculer les facteurs e*'^'^, e*^^^"; d'après ce que j'ai dit plus haut, on les obtient en débarrassant les arguments de la période P dans les expressions
ef:rî»^(a, P)-P,l e[a7i*^(w, P)-P,l
Or, on a la formule connue
et d'après les formules (24)) ^^ ^ ici
[l en résulte
c'est-à-dire
^^^^ )„ Xî-X , X-X» 1^. ,,^ X«— X. ,
fE'= — ~ — a«-h — ^ — w-f- -(X — X«)(' = — ^ — (u«— a — 2i').
23. Il résulte de la théorie générale de la formule d'inversion que les expressions (28) définissent j? et^ comme fonctions uniformes de u et de v\ si donc, ainsi que je l'ai indiqué plus haut, u ei v peuvent prendre^ pour les mêmes valeurs de ^ et dey, une infinité de systèmes de valeurs se déduisant de l'un d'eux par un groupe de substitutions linéaires, x ety seront bien des fonctions hjperfuchsiennes de u et de v. Ce fait sera mis en évidence dans la seconde Partie où je vais étudier ce groupe de substitutions. Toutefois, l'invariance de x ety aux substitutions de ce groupe effectuées sur u et v suppose que la demi-période
Pi
que contiennent les arguments a été convenablement déterminée; les résultats de la quatrième Partie, dans laquelle j'ai fait l'étude des transformations que subissent les fonctions 6 quand on effectue sur u eï i> les substitutions du groupe, me permettront d'effectuer indirectement cette détermination.
