ÉTUDE D'UN GROUPE DE SUBSTITUTIONS LINÉAIRES
I. — Rotations des points critiques les uns autour des autres.
24. Reprenons la courbe fondamenlale sous la forme (i) en laissant indélerminés les quatre points critiques à distance finie. Si l'un de ces points décrit une courbe fermée autour de F un des autres, les valeurs des périodes sont modifiées, quoique les points critiques soient, après le déplacement, les mêmes qu'auparavant; Ce sont ces transformations des périodes et par suite de u et de v que je vais étudier.
Pour plus de netteté, je considérerai a, p, y, 8 comme des poiuts fixes dans le plan et je désignerai les quatre points critiques de la courbe (i) par A, B, C, D; ces points critiques seront susceptibles de se mouvoir dans le plan, mais ils seront assujettis à coïncider initialement avec a, p, y, 5 et à ne décrire que des courbes fermées.
Quand un point critique se déplace, il entraîne avec lui la ligne de passage correspondante; il sera commode, pour mieux se figurer les résultats, de supposer que celle-ci change en même temps d'orientation de manière que les lignes de passage ne se coupent jamais à angle, mais que si un point critique B doit franchir la ligne de passage d'un point critique A, ia ligne de passage de B est devenue auparavant parallèle à celle de A, de manière qu'au moment de la rencontre les deux lignes coïncident comme droites indéfinies et soient de même sens; il est clair alors que, dans la partie qui leur est commune, ledrs eff*ets sur réchange des feuillets se superposent. Toutefois, pour bien préciser les résultats, il importe encore de définir comment change l'orientation d'une ligne de passage quand son point critique décrit une courbe fermée. La convention à Laquelle je me suis arrêté est la suivante : Je suppose que la ligne ne tourne pas toujours dans le même sens de manière à décrire toute la portion du plan extérieure à la courbe tracée par le point, mais que, vers le milieu du parcours, son mouvement change de sens de manière que, soit à l'aller, soit au retour, elle décrive l'aîre limitée par la courbe du point et qu'en outre elle décrive les deux fois la mêr.ie portion du plan. Cette convention, le plus souvent, facilite les constructions; une convention contraire aurait pour efl'et de faire passer les courbes d'un feuiFlet à l'autre et par suite de multiplier les valeurs de l'intégrale par une puissance a'e X.
Il suffit, après chaque déplacement des points A, B, C, D, de calculer les nouvelles valeurs des trois périodes A<, A2, A3, dont dépendent immédiatement 11 et v] il suffit donc d'étudier les déformations des trois courbes M|, L|, M2 de la figure I. Les formes initiales de ces courbes sont représentées à part sur la figure 2. Pour chaque déplacement, je donne les nouvelles formes de ces courbes pour une ou deux positions intermédiaires du point mobile et ensuite pour sa position finale. Le calcul des périodes relatives à Tétat final se fait immédiatement,
Fig. 2.
comme pour Tétat initial, en fonction des a/, p/, y/? 8/, en considérant les lignes de passage traversées par la courbe; j'identifie ensuite la valeur trouvée avec une combinaison linéaire des valeurs primitives des trois périodes, c'est-à-dire avec Texpression suivante
qui, en vertu des relations (2), peut s'écrire
(3i) a|(— /i) H- 3i(m — /iX« — pX) -h '{i{m'k^ — n\ -{- pX) -^ ^i mX,
Cette identiûcation fournit quatre équations. Dans chaque cas, elles se réduisent à trois^qui fournissent sans ambiguïté m, n, p. Il en résulte que dans tous les cas, les nouvelles valeurs des périodes sont des fonctions linéaires et homogènes des anciennes; u' et ç' désignant les nouvelles valeurs de u et ^, on a des relations de la forme suivante
~ Mi-h Pifr» -f- Ri w'
(*) La forme de ces résultats est connue a priori d'après la théorie de la transformation linéaire que je rappellerai plus loin.
R. ALEZATS.
Il sera avantageux de grouper les coefficients dans un Tableau; je les écrirai
dans l'ordre suivant
M, Pî M3 F:
Si et Sy étant deux substitutions ainsi représentées, j'ai adopté, pour effectuer le produit S/Sy, la règle suivante : L'élément de la A'^"^ ligne et de la /'*"* colonne de S/Sy, s'obtient en combinant les éléments de la A»^"® ligne de S/ avec ceux de la /*^™« colonne de Sy.
25. Il suffit évidemment de faire mouvoir chaque point critique autour de chacun des autres séparément, car un contour entourant à la fois deux points critiques est manifestement équivalent à deux contours entourant respectivement chacun d'eux. De plus, étant donnés deux quelconques des quatre points, par exemple A et B, qui sont initialement le premier au point a, le second au point p, il suffit de faire tourner soit A autour de ^, soit B autour de a; en effet, quand A, par exemple, tourne autour de ^, on peut déformer le chemin qu'il suit de manière à le faire passer infiniment près de p, on a alors un contour formé de deux chemins allant de a en j3, et il revient au même de le faire parcourir soit par le point A, soit par le point B, pourvu que les deux mouvements se fassent dans le même sens; dans les deux cas, en effet, les constructions sont les mêmes à l'ordre près qui est sans influence. Les déplacements à étudier sont donc au nombre de six, nombre des combinaisons de quatre choses deux à deux. Nous considérerons les suivants.
26. Rotation de C autour de p. — Sur la /ig, 3 comme sur les figures
Fig. 3.
iXiS"' y
suivantes, le Irait pointillé indique le chemin suivi par le point mobile; les
flèches placées à côté de la figure indiquent la région décrite par la ligne de passage à Taller et au retour.
h^fig. 3 suppose que le point C décrit sa courbe dans le sens rétrograde.
On déduit immédiatement de cette figure
a; = A,, a; = A„ a; = p,-^ p,-+- yi = ^*a,.
Il en résulte
On a la substitution suivante
loi o j,
Sî =
Sî=i
S| admet la période 3 ; on a donc SJ= S7*; il serait facile de trouver directement cette substitution; il suffirait de faire mouvoir C sur sa courbe dans le sens direct. Cette remarque s'applique aux substitutions qui suivent.
27. Rotation de C autour de c. — C décrivant sa courbe dans le sens rétro-
Fig. 4.
• * - ft ■
grade, on obtient \^fig' 4* On en déduit
a; r= — 53 — Yt-H Sj— p,— a,.
R. ALEUIS.
D*où, en identifiant avec l'expression (3i),
En (in
— I = — n, — X2=m — nX* — /?X, X« — X = mX, — X*=/iiX* — /iX-f-/>X, m = X — I, n = i, ^ = I — X*,
— X«^ = X« — i-M'-t-CX — X«)w.
A', = Pi -4- ?, — 8, -h Yj -+- Sj.
D'où, en identifiant avec (3i)
Ai
J^ =,X-hX«i*.
Il en résulte
Sî = i.
28. Rotation de D autour de p. — La Jig. 5, qui représente cette rotation
Fig. 5.
effectuée, donne
Aj = Al,
a; = — 5,— Yî— Pi-^-Yi-^-^«— Yi— «i = (^--OAi-f-A,-+-(i— X)Aj,
A;=p,-f-pi-hYî-^5»-*-Tt-5i-Ï3 = (i-X«)A,-f.X«A,.
D'où
Al
X«— I I I — X» , Sî= X — I I I — X , SJ = i.
^i X« o X»J 1,1 — Xo xj
S9. La subslilulion 83 vaut pour une rotation de D autour de ^ (ou de B autour de S) efiectuée dans le sens rétrograde en coupant à Taller et au retour la ligne de passage de y. Le chemin ainsi décrit par D équivaut {^fig^ 6) à trois lacets
Fig. 6.
issus de S : au lacet y décrit dans le sens rétrograde, au lacet ^ décrit de même et au lacet y décrit dans le sens direct. Au lacet y correspond, ainsi que nous venons de voir, la substitution S2; désignons par S, la substitution qui correspond au lacet ^ décrit par D dans le sens rétrograde, nous devrons avoir
c'est-à-dire
D'autre part, la substitution 83 correspond aussi à la rotation de B autour de S, pourvu que Ton suppose que B décrit sa courbe dans le sens rétrograde et qu'a l'aller et au retour il coupe la ligne de passage de y. Ce chemin de B, comme l'indique \^Jlg- 7, peut se décomposer en trois lacets issus de ^ : le lacet y décrit dans le sens direct, puis les lacets S et y décrits dans le sens rétrograde. On doit
donc avoir aussi
relation qu'il est facile de vérifier.
R. ALEZAIS.
Il en résulte les identités
s,s; s| = s\ s; Si, s» s,s, = Si s.sj.
Fig. 7.
On peut les écrire
oiS]Sj= Ss^i^ii 010201= St^i^s»
S 3 est permutable avec S2S1 et S', avec S| S^.
30. Comme vérification, cherchons directement la substitution ^'^ (elle conduit à une construction un peu plus simple que S',). Il suffit pour Tobtenir de faire
Fig. 8.
passer D à Taller et au retour entre a et y et de lui faire décrire sa courbe dans le sens direct. On obtient ainsi la fig. 8, d^où l'on tire
A'i = Al»
a; = piH- 8,- p,- 81 — Y»— P«— «1 = (X — X«)Ai-h A,-+- (i - X«) Aj,
Ai = p,-+- p,— 8,-f- Yi-+- 8, = (X«- 1) Aj-T- X A,.
SUR Vm CLASSE DE FONCTIOr^S HYPERFUCHSIEN>ES. 2()
D'où
X«^ =X-l + i.-H()l-).')tt.
\ h'=X»-h-Xu.
On retrouve bien la substitulion S','.
3i . Rotation de D autour de a. — Pour retrouver directement la substitution de M. Picard, il faut faire décrire à D un cbemin coupant à l'aller et au retour les lignes de passage de y ^^ de ^, ce qui complique iautilemeut la coustruction. En
supposant que D aille directement tourner dans le sens rétrograde autour de a, sans couper les lignes de passage de ^ et de p, on trouve la Jig. 9, d'oii l'on tire
A', =— a,-i-S,-i-a,+ p,-f-f,= XA,-(-(X' — X)A„
a; =a,+ 8,+ a,-f,-?,— a,-S,= (X-i)A,-i-aXA,..
D'où
Xi^=Xi,-îX^,
Si= X« — I — 2X o I, S'i'= X — I X« u I,
R. ALEZAIS.
32. Le contour relatif à la substitution S4 de M. Picard peut être décomposé {^fig^ 10) en cinq lacets issus de S : les lacets y, |3, a décrits dans le sens
Fig. 10.
ol<^
rétrograde, puis les lacets ^ et y décrits dans le sens direct. On doit donc avoir
S4=S,SiSiSi«Sî.
Pour effectuer ce produit, commençons par former
2, = S,S'3=| ^*— ^ ' o • t o o xj
Cette substitution n'est pas périodique. On a
et, en particulier,
En formant S, S^ S,*, on trouve
Sî=
c'est bien la substitution de M. Picard.
Sî=i,
33. La substitution S< correspond à une rotation rétrograde de D autour des points Y et p. En effet, la fig. 1 1 , qui représente cette rotation effectuée, donne
— ai = (X«— i)A,H- A„
Ti =
