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U,, U, Us, U,, uw, étant des formes linéaires à coefficients réels. La méthode classique, introduite par Hermite, qui permet de ramener la réduction des formes quadratiques indéfinies à celle des formes définies, permet, en s'appuyant d'autre part sur le théorème démontré à ce sujet au Chapitre III, de démontrer que ces groupes sont discontinus dans le domaine (1). Une étude sur l'existence, dans ces groupes, de certaines substitutions, permet de démontrer que les fonctions invariantes correspondantes ne peuvent pas se prolonger hors du domaine (1): elles sont donc uniformes partout où elles existent. Quelques renseignements sur le polyèdre fondamental découlent aussi de cette étude. Il serait désirable d'étudier aussi les singularités essentielles de ces fonctions sur le contour du polyèdre fondamental, de manière à voir si les propriétés des fonctions invariantes par le groupe arithmétique ne s'étendent pas à ces nouvelles fonctions; cette étude n’est pas faite dans ce travail.

J'éprouve un vrai plaisir à pouvoir exprimer 1c1 ma recon naissance profonde à M. Picard; ce sont ses travaux si lumineux qui m’ontinspiré l’idée de ce travail, et c’est à la bonté avec laquelle il a bien voulu me donner ses conseils que je dois d’avoir pu le poursuivre; en même temps que mon admiration pour son œuvre, je le prie de vouloir bien agréer l'expression de mon affectueux respect et de ma gratitude. J’assure également M. Humbert de toute ma reconnaissance pour Île bienveillant intérêt qu’il m'a continuellement témoigné; l'exposition qu'il a faite en 1911-1912 de la théorie des groupes fuchsiens dans son Cours du Collège de France m'a été d’une très grande utilité.