Considérons deux systèmes de quatre variables

Gi, (Gas O3, Gy,

Uy, Us, Uz, Ù,;

nous effectuons sur &,, @,, &,, ©, une certaine substitution linéaire

et homogène (= ao: + do: + A3 03 + A0),

Q7— bio, + Do Go + b303 + bio, OP C6) + Co Do + C3 03 + Cr, 0%,

Q,= do, + duw:+ do; + d,0,, et sur U,, U,, U,, U, la même substitution

Yi= œv, Fou, +'a;v, La, 0, = div, + bus + bsvs + bus, Vs Ci + Cols + CU Cove,

Y,= dv, F dv, die 4,0,

TRANSFORMATIONS BIRATIONNELLES QUADRATIQUES. (e]

Cette substitution est choisie de manière qu'on ait l'identité

(1) ., OT QT QT — oo U0, — OÙ + QU, — ous.

Il est nécessaire et suffisant, pour cela, que les seize coefficients de la substitution satisfassent aux six relations que voici :

(ac) + (bd) = (achi3+ (bd); (2) | NE 0, (ac )13+ (bd)»3— 0, rene 1; | (ac}a, + (bd)a, = 0.

Nous avons posé pour abréger (mn);;=min;— myni.

Nous appellerons cette substitution une substitution (S). On peut conclure de là que le déterminant

DD TT D ee 1 2 3 4 C1 C2 C3 C d, d; d; d,

est égal à un; en effet,

A——(ac);:(b4d)3,+ (ach13(bd)a, — (ach1, (0d)o3 — (ac}h:3(bd);;+ (ac)2,(bd)13— (ac)s,(bd);;;

ou bien, en tenant compte des relations entre les coefficients,

A— (ac}hp(ac)3,— (ac )13(@c ja, + (ac 13 + (ac 14 (QC }ss + (bd)3(bd)1,— (bd)2,(bd)3 + (bd)h13+ (bd)s(bd)13;

Mais entreshuit nombres 7, 772, 714: Mu: (Ur le stlts: 1 LEXISIE l'identité (3) (mn), (mn), +(mn)a(mni—(mn)3(mn);= 0;

nous voyons donc que A —(ach\3 + (bd)53 1.

2. Cherchons les mineurs du premier ordre du déterminant A; nous désignerons le mineur correspondant à un élément par la lettre majuscule de même nom que cet élément, et affectée du même indice

que lui.

Les quatre équations en æ,, æ,, æ,, æ,

tit bitit ts + T Oo, A Ti + bat + C3 + dt, = 0, As Li Fibre ls BB T1,

AyTi + biti+ cts + da TZ 0 ont comme solution

Ti—— Ci Ta = — di, T3— A; Æ, = by; nous en tirons immédiatement Cie. di =—B;, d==C, b= D; ;

en considérant trois autres systèmes analogues d’équations, nous trouvons que les mineurs forment le tableau suivant :

/ CA Cy — Cy — CG \ | d; GA: | | — 3 —d@, a; Ge |

ben b, b,

DANS De PT hd d& à, à est donc celle-ci :

c dy — a; — b, c d, —a, —b,

mais cette dernière est encore une transformation (S); donc les seize

TRANSFORMATIONS BIRATIONNELLES QUADRATIQUES. II

coefficients satisfont encore aux six relations suivantes :

(ab;3+ (ab), = 0, (ac h;3+ (ac ha —= 1, (ad); + (ads, (bc h13 + (DC ja, — 0, (bd)13+ (bd), = 1.

(cdh3+ (ed) = 0.

Ces six relations sont donc une conséquence des relations (2); d’ailleurs, le système (2) est lui-mème une conséquence du système (4); ces deux systèmes sont équivalents.

3. Il est évident que les substitutions (S) forment un groupe. Il peut être utile d’avoir quelques substitutions simples susceptibles de donner par leurs produits n'importe quelle substitution du groupe. Voici un système de cinq substitutions qui jouit de cette propriété :