B2 B; OO NO O0, O

Les racines de l’équation en s (B2— 5) (d —s) —B, 010

sont r, et r,. Il existe deux nombres complexes a et b, non nuls ensemble, tels que la transformation

X — B,zx + 6,7, (9) és NE, 200,7

donne lieu à l'identité aX+bY=—r,(axz+by); si alors à, et b, sont les conjugués de a et b, on a aussi aoX + DY = r, (ax + by).

a et b ne sont déterminés qu'à un facteur près; si on les multiplie par un même facteur, le nombre réel i(ab, — a,b) est multiplié par le carré de la valeur absolue de ce facteur: nous pouvons supposer

que 1(ab, — ab) est positif; si cela n'avait pas lieu, nous n'aurions s . . : : = qu'à échanger les racines r, et r,, et il le deviendrait: alors, en multi-

pliant a et b par un même facteur, nous pouvons le rendre égal à =.

TRANSFORMATIONS BIRATIONNELLES QUADRATIQUES. AT

Posons alors

U—= (a+a;)z + (b+b,)y, = (a+a)X+ (b+b,)Y, Y, V=—i(a—a ,)X —i(b—0b,)Y; la transformation (9) s'écrit alors

U = ucosp— + sino,

V = u sing + P cos, en posant

la COS + Sin, T,—= COS® — 1Siny;

alors, en transformant la substitution (8) par

fo (e) (o) (e] 0 a+ & 0 b + b, to) (e) I 0 :

1 —{(a— ay) Oo —i(b—b;)

qui est aussi une substitution (S) à coefficients réels, on la met sous la forme

Fa (o) O O | O COS Oo —siny (10) { \ 0 OCT: 0 ?

O sing o COS ® |

que nous appellerons forme canonique des substitutions du deuxième lyYpe.

La démonstration met en évidence ce fait qu’on ne peut pas mettre la transformation sous la forme analogue à (10), mais où ® est remplacé par — ©, c’est-à-dire où r, et r, sont échangées.

2. Cherchons les points doubles; la transformation (T) s'écrit

Xi rit COS — J'ix, SiNO, Xe— 3% COSQ + r3Z;3 SIN, Xs— æ3,

X,—= rit Sing +7iT; COS9, X;—— rate SinQ + r3T5; COS.

Nous trouvons immédiatement les quatre points doubles, qui sont :

PAR 10, Gn== ©, Li ll, DR OS FA Lo 0, La i0} DT Sa = 0; DE, Li 0, == MO; Ru AE Li 0, LL, Da=iO} == RO) DR Ve

Ils sont tous les quatre imaginaires, deux à deux conjugués; deux sont dans le domaine (HIT), et les deux autres dans le domaine (INF). Il en est donc ainsi pour toutes les substitutions du second type.

3. Cherchons maintenant l'effet des puissances de la transformation sur un point quelconque. La puissance » de la transformation (T) peut s’écrire

Xi . X: rÉX COSRP—riX, SiINnp ri LaCOSNP+rS XL; SIND T3 Pr. X4 à. X;:

7 Tdi SiNnp+riT,COSND —r;L2SiNn + ri Ls COS AP Supposons Nil

Si nr augmente indéfiniment par valeurs positives, les rapports de X,, X,, X, à la plus grande en valeur absolue des variables X, et X, tendent vers zéro, à condition que +, et æ, ne soient pas nuls ensemble. Quant

au rapport X, __æsinno+x,Ccosno X1 x cosnp—x, sinno”

si © est commensurable avec x, il ne prend qu’un nombre fini de valeurs, savoir g valeurs si

p et g étant des entiers premiers entre eux; le point X,, X,, X,, X,, X:

tend donc alors vers g points limites, tous situés sur la variété DIR US — OÙ

ces g points sont distincts sauf si l’un d’eux est un point double : alors

TRANSFORMATIONS BIRATIONNELLES QUADRATIQUES. { »

ls sont tous confondus. Si, au contraire, o est incommensurable avec 7, le rapport précédent peut s'approcher autant qu’on veut d’une quelconque des valeurs du rapport

+ Sin 0 + x, cos 0 PE TELL RE 0) Zi COS 0 — x, sin

0 prenant toutes les valeurs de o à 27; le point X,, X,, X,, X,, X, se rapproche donc indéfiniment de la variété +, = +,= +,= 0, et il peut devenir aussi voisin qu’on veut de n'importe quel point d’une certaine variété à une dimension, située sur la variété x, = x, =æx;—=0;iln'ya exception que si l’un de ces points limites est un point double, alors tous les autres sont aussi confondus avec ce point double.

Si maintenant æ, et æ,,.et par suite æ,, sont nuls, æ&, et æ, ne sont pas nuls ensemble; alors, si 2 est commensurable avec +, le point X,, X,, X,, X,, X, occupe le nombre fini g de positions sur la variété

Li— L3— TL, —0O;

si © est incommensurable avec +, il occupe une infinité de positions, qui forment un ensemble dense sur une certaine variété à une dimen- Sion Située Sur; — 2; — x, == 0; dans les deux cas, il n'ya exception que si le point x,, x,, æ,, æ,, æ, est un point double : la position occupée est alors unique.

Pour les puissances négatives, on a un résultat semblable, mais les rôles des deux variétés

et

sont échangés.

Ainsi, le groupe est discontinu sauf pour les points de ces deux variétés, qui sont entièrement situées dans les domaines (IT), (HF) et (IV), et n’ont aucun point commun. Pour une transformation quelconque du second type, ces variétés ne sont plus les mêmes, mais gardent cette disposition.