IV. — Troisième type
1. Dansee type, r, et r, sont imaginaires conjugués, et, etr, aussi; de plus, r, et r, sont distincts der, et rs.
Il résulte de là que toutes les racines r,, r,, r,, r, ont pour valeur absolue l’unité.
Nous avons déjà vu, à propos du premier type, qu'en transformant la substitution donnée par la substitution (S)
| on 0e a Ur | nn ns a | P1 P2 Ps P:
à coefficients complexes, nous pouvons la mettre sous la forme (7). Alors il existe un nombre complexe À tel que
Pi= Àtte, Po NO, Pine, Pi== A Me;
l'indice zéro ajouté à une lettre servant à désigner le nombre conjugué de celui que représente cette lettre. À est d’ailleurs purement imagjinaire, Car
(mp3 + (Mmphau=t.
En transformant à nouveau par
] [e] l a O À 0 J O O À J i — — O0 — o 2 3) O O O I on mettra la substitution sous la forme LA En ont (ES lis — O ——— o 2 À O0 7 o 0 (r—r T7 d LR RU RE l 2 | ) o o 2:
mais la substitution par laquelle on à, à présent, transformé la substi-
tution donnée, a sa première et sa troisième ligne formées d'éléments réels.
TRANSFORMATIONS BIRATIONNELLES QUADRATIQUES. A5
Opérons de mème sur n,, n,, 13, 14, Qi» Us Q> a 3 NOUS Voyons que, en la transformant par une substitution (S) à coefficients réels, nous pouvons mettre la transformation proposée sous la forme
{ Le ETS ERA Gt ds © “h
en opérant maintenant sur la première et la troisième ligne de ce tableau, puis sur la deuxième et la quatrième, comme nous avons fait sur la deuxième et la quatrième à propos du deuxième type, nous parvenons à mettre la substitution proposée sous la forme
| COS® Oo —sing 0 | O cosd () — sind (11) ; sing o cos® 0 () sin d () cosy
c’est la forme canonique des substitutions du troisième type. Les nombres Ti la as Ont pour valeur
r,=Cos® + sin, ly—=CosŸ +ésind,
ra COS? — Esinv, r, = CosŸ — rsint.
La démonstration employée montre qu’on peut échanger les angles o et d : on a encore une substitution transformée de la substitution donnée ; mais on ne peut changer © en —+, ni Ÿ en —.
Cherchons les points doubles; le plus simple, pour les trouver, est d'appliquer la méthode donnée au commencement de ce Chapitre. On trouve ainsi les points
Gore oil; T0 D BE Dial, La—=— 1, Le 0) ARTS De Li — 1, T3 = — 1, T3 —O, TL, — 1, T3 — 1; Di, te 01! D 0, D Du ol
Ces points sont deux à deux imaginaires conjugués; l’un est dans Gr. 7
le domaine (1), son conjugué dans le domaine (['), les deux derniers dans le domaine (11).
Cette disposition des points doubles nous montre de nouveau qu'il est impossible, pour arriver à la forme canonique, d'échanger r, et rs, OUV AMEL.
3. Considérons le groupe des puissances de la transformation; la puissance » de la transformation (11) s'obtient en remplaçant © par no et Ÿ par »%. Si o ou Ÿ est incommensurable avec r, aucune puissance de la transformation (11) ne se réduit à la transformation unité. Le groupe n’est alors discontinu pour aucun point de l’espace. En effet, la transformation (T) a pour équations
Xi— æ,coso cost + x, sin cost — x, coso sind + x; sino sin, X2= — x, Sinv cosŸ + x, coso cosŸ + æ, sin sind + x; coso sin, X3— VÆT
X;,= æx,cososin® + x, sin sind + x, coso cost — x, sin cos, X;— x, sing sind — x, coso sind + x, sinp cosŸ + x, coso cosŸ.
Nous voyons qu’en prenant © et Ÿ suffisamment voisins de zéro, un point æ,, æ», &3, %:, æ Quelconque est changé en un point aussi voisin qu'on veut. Ici © et Ÿ nous sont donnés; mais, pour la puissance °°° de la transformation, © et Ÿ sont remplacés par #9 et 4, qu'on peut naturellement augmenter d’un multiple quelconque de 27; or, on peut trouver trois entiers n, , # tels que, e étant un nombre positif donné quelconque, on ait
[no +orh|<e, [nd +ork|<e;
pour cette transformation, les angles qui remplacent © et sont inférieurs à € en valeur absolue; comme € est arbitraire, notre proposition est démontrée.
Si maintenant © et Ÿ sont commensurables avec +, le groupe des puissances de la transformation (11) est un groupe fini. Si l’on pose
TRANSFORMATIONS BIRATIONNELLES QUADRATIQUES. 47
P, P', 4, q' étant des entiers dont les deux derniers sont positifs, et pet g étant premiers entre eux, ainsi que p'etg', le nombre des transformations du groupe sera le plus petit commun multiple de q et de g'
ou le double de ce nombre suivant que PL, où à est le plus
grand commun diviseur de q et de g', est pair ou impair. Ainsi, la condition nécessaire et suffisante pour que le groupe des puissances d’une transformation du troisième type soit discontinu L : 5e à Q 1") t sa I B\ a & N pour quelque point del espace est que ? et Ÿ soient commensurables avec T; ce groupe est alors fini.
