XII. — Conséquences

1. Prenons deux des formes canoniques que nous avons énumérées : nous constatons qu'elles diffèrent soit par Le nombre ou la nature des points doubles, soit par les effets des puissances de la substitution sur un point quelconque. Il est done certain qu'aucune substitution (S) ne permet de transformer ces formes l’une dans l’autre, même si r,, ra l'a, r, Sont les mêmes pour les deux transformations.

Nous avons ainsi vingt-deux formes canoniques distinctes, sans tenir compte de la distinction qui se présente à huit endroits différents entre les substitutions de sens direct ct celles de sens indirect. Ces huit endroits se trouvent : un dans chacun des sixième, septième et huitième types, deux dans le neuvième type, trois dans le dixième LyYpe.

2. Considérons à part les substitutions qui ont au moins un point double dans le domaine (1), et par suite dans le domaine (1). De l'étude que nous avons faite 11 résulte qu'il est nécessaire pour cela que r,et r, soient imaginaires conjugués, ainsi que 7, €t 7,3 Si deux de ces quatre racines sont égales, leur valeur commune doit encore annuler les mineurs du déterminant premier membre de l'équation (1) en s; enfin, les quatre racines ne peuvent être égales que pour la substitution unité. Si toutes ces conditions sont remplies, on a dans Île

domaine (1) un point double unique (troisième type; sixième type, première forme), ou une infinité, tous les points d’une variété algébrique pénétrant dans ce domaine, et dont les points dépendent d’un paramètre complexe {sixième type, deuxième forme; huitième type, première forme), ou même de deux (neuvième type, première forme).

Le groupe formé par les puissances d'une de ces transformations n’est discontinu que si les arguments de r,, r,, r,,r, Sont commensuables avec 7; il est alors fini.

Les autres sortes de groupes de puissances sont toujours discontinus (sauf pour des points exceptionnels) et infinis.