LRQ GR GG AGE

Ceci peut s'écrire des deux façons suivantes : Um

Ge our) CO CN TT RE En re re

St l'on se donne G\", on a ainsi G+ Get GG’, donc G et G': pour que

TRANSFORMATIONS BIRATIONNELLES QUADRATIQUES. 139

le problème soit possible, il est nécessaire et suffisant que la valeur de (G— "}? soit positive; done, la plus grande et la plus petite valeur de GG’ sont les deux racines de l'équation

— GGr+a(au—1)66—1—=0; elles rendent G et G’ égaux ; c’est ce que nous voulions démontrer. 2. Il résulte de là que, pour que la variété (3) ait au moins un point de sa surface ou de son intérieur sur la variété GG — HE? K?, il est nécessaire et suffisant qu'on ait

(9) PE nd

Considérons maintenant la variété

(10) |æ Ës + E, +23 Es + ax, Es + ci + ai bte Eo+ 223 E0+ 2, É0+ 5 E10 |?

Pl :

ee | re (PEN RES Hu Lolo + Lo Li AT; T0) X (E1 Ëso+ Ér0ës + Ës É0 + Ën0 6 + 2 Es E30) — 0,

et supposons que pour le centre (£,,%,,6,,£,,£,) on ait E1Ë50 + bioËs + Éabio + Evo és + 2Ë3Ë30 = — EPETTE

Comment doit être choisi & pour que cette variété ait à son intérieur ou sur son contour un point où

Remarquons que la transformation (T) correspondant au tableau

d C 0 (e) | (11) . | É . a (ad — bc —1) da+by ca+ay a sn) dy bB cyPaf" —c. d

permet de transformer le point g =g'=—1, k —o en un point quel- G. 18

conque de GG — 3e?= 1; en effet, le transformé de ce point est

G= Ua +b)+a, H —=— (ac + bd) + y, G= ic +d)+6.

De plus, cette transformation conserve GG" — 3°. Donc, la variété (10) pouvant être changée par la transformation (11) dans la variété (3), elle atteindra la variété 6G— 3e? = Æ* pour les mèmes valeurs de y, données par la relation (9).

Supposons maintenant que le centre de la variété (ro) soit sur la variété

Par la transformation

Oo I O (e] OBPONCOÏMET on ramène le centre sur GG — 3° — 1; d’ailleurs, pour tous les points, GG" — 3° est divisé par à. Donc, pour que la variété (ro), de centre sur GG — 3° — «?, atteigne la variété GG’ — 3e? = #?, il est nécessaire et suffisant qu’on ait

Fra? Rae

3. Cherchons les transformations les plus générales qui changent identiquement l’expression GG'— 3%? en elle-même. Il'est nécessaire et suffisant qu'on ait, en désignant toujours les coefficients par la même notation,

(abs ==, (ab; =(abh,= (ab); = (ab), = (ab = 0.

Par suite

Supposons d’abord qu’on ait (ab = 1;

TRANSFORMATIONS BIRATIONNELLES QUADRATIQUES. F9)

alors la transformation la plus générale est la transformation (x 1), c’està-dire

TC OC o |: D D)

(OY NT) a — 1} GPO

D © =@ le DOI

Supposons maintenant qu’on ait

(ab)i3=—1; on posera alors

avec la condition ad — bc =1;

on trouvera alors comme transformation la plus générale jouissant de la propriété demandée

75 AE CAEN o | NO 1000 FO ‘à (4) D G ) (e) , o —I re) + D n@

OO CRC | O OO O —I1 | YO /SNOT

En résumé, la transformation la plus générale jouissant de la propriété de conserver GG'— 3? s'obtient en prenant la transformation

(10) (abc)

et enfin de