II. — Polyèdre fondamental
Nous nous proposons de trouver le polyèdre fondamental du groupe arithmétique; nous démontrerons en chemin que ce groupe est effectivement discontinu dans le domaine (1).
Le polyèdre fondamental que nous trouverons n’est pas celui dont l'existence a été démontrée (Chap. HT); nous l’obtiendrons par une méthode un peu différente.
1. Lemwe. — Considérons la variété invariante de centre g = g'— 1, == O,
GY 1BgS +R ESS Fra) (eee RD) 4atCG= se) =,
où & est plus grand que un. Les points du domaine (1) pour lesquels GG — 3? est maximum ou minimum sur celle vartété sont les deux points pour lesquels h est nul, g et g' étant égaux et purement imaginaires.
TRANSFORMATIONS BIRATIONNELLES QUADRATIQUES. 10%
Pour le voir, nous poserons
aitu 1e 7 —0 s io l— u (4) sx ) L—u Lu L = 5 l—u
k, t, u sont de nouvelles variables destinées à remplacer g, 2, g'; elles s'expriment d’ailleurs au moyen de ces anciennes variables par les relations
5 RO NE nr , eee 5 è D due
L’équation de la variété devient
ras 2 kk + (6) F + RER nr BEN [2tutouo+(t+ VASE mr) + 2 a 0
+pl= 4 —0kk
Qu + 2tuo —(t+u)(l +) (£— u)(t5 — Wo)
Nous savons déjà que cette variété est (out entière située dans le domaine (1), et à distance finte : donc, sur cette variété, GG — %? atteint effectivement un maximum et un minimum.
Tout d’abord, pour ce maximum et ce minimum, Æest réel ; en effet, supposons que, sans changer ni #, ni u, ni [#|, on rende # réel; GG" — 3e? augmente; d'autre part, le premier membre de l'équation de la variété devient négatif, c'est-à-dire que nous sommes en un point intérieur à la variété : si nous faisons alors croitre le nombre réel #, qu'on peut supposer positif, GG 3%? croitra encore, et le premier membre de l'équation finira par s’annuler : donc, si Æ est imaginaire, nous savons trouver sur la variété un point où GG — 3€? est plus grand; donc nous ne sommes pas à l'endroit du maximum.
Pour voir qu'il en est de même pour le minimum, il suflit, apres avoir rendu # positif, de le diminuer de manière à ramener GG" — 3° à sa valeur initiale; on constate encore qu’on est à l'intérieur de la variété, et l’on achève comme pour le maximum.
Supposons donc # réel; l'équation (6) devient
tutouo + (E+u) (lo + Uo) +2 4 KE — Lo) (u — uo) (t—u)(t,— uo) ch (é—u)(t{— us)
(7) 1+4kt+04
Je dis maintenant que, pour le maximum et le minimum, £ et u sont purement imaginaires. En ellet, sans toucher à leurs parties imaginaires, supprimons leurs parties réelles, s’il y en a: (4—u)(4, — us) diminue ou reste constant; diminuons #° de manière que GG" — 3? ne change pas ; on constate que le premier membre de l'équation (7) devient négatif (et non nul, car tut,n, à diminué); nous sommes donc entrés à l'intérieur de la variété ; on voit alors comme plus haut qu'il y a sur la variété des points pour lesquels GG°— 3%? est soit plus grand, soit plus petit qu'au point de départ.
Supposons donc £ et u purement imaginaires, et posons
DUC u—— 16, a et B étant réels. L'équation (5) devient
— 16 pk? ce
(8) 1+ k*+04k? Cesare
Je dis maintenant que & et $ doivent être égaux. En effet, l'équation (8) elle-même montre qu'ils sont de même signe : nous pouvons les rendre égaux, s'ils ne l’étaient déjà, sans changer «3; cela diminue &° + $?; diminuons Æ, pour ne pas changer GG’ — 5e? : on voit alors qu'on pénètre à l’intérieur de la variété: il n’y a done ni maximum ni minimum pour à 2 6; donc à = 6.
Les résultats obtenus jusqu'ict montrent que g et g’ doivent être purement imaginaires, et que À doit être nul. L’équation de la variété
devient alors
