Quelle est la valeur de 6G'—3%? pour le transformé du
point g = g'—i, À = 0 par une substitution (T)? On trouve que c’est
Vel 2 — (18) TE Tab ae Lada
Posons (19) (abs, (able, (abhs;=as, (abhi=o, (abs as;
la valeur précédente devient
l I 20) OO TVR VD PISS Cia) +(m— a) airaroatate Si la transformation (T) appartient au groupe arithmétique, la valeur trouvée est l’inverse d’un nombre entier positif; elle a donc un maxt-
TRANSFORMATIONS BIRATIONNELLES QUADRATIQUES. 107
: . J mum, qui est un; la plus grande valeur au-dessous de celle-ci est
et ainsi de suite.
Pour que 66 — 3%? soit égal à un, il est nécessaire et suffisant que trois des nombres &,, &,, «&,, «; soient nuls, le dernier étant égal à +1; &, doit aussi être nul. On trouve comme substitution correspondante l’une des suivantes :
NET) (e) EYE = [e] OT (e) O I O (e) ONMOPNI O < 10 O G ‘ OO. O0 I OM O 0 I RON OC O O0 oO O = il OMOM OST OMMOSS 1] (e] ONMOST O | (e) [ O (e] OT O O JEUNE) 0 (e)
suivie de la transformation la plus générale qui conserve GG — 3e?. On remarque tout de suite que le point g = g’—1, k —o est changé ainsi en un point à coordonnées entières complexes, c’est-à-dire en un point qui n’en est pas aussi voisin qu’on veut; d’autre part, les transformations qui l’amènent en dehors de GG — x*=—1 ne le changent pas non plus en un point aussi voisin qu’on veut; donc (Chap. II, $ HT), le groupe arithmétique est discontinu dans le domaine (\).
Cherchons maintenant la transformation la plus générale pour laquelle le transformé du point g = g'—1, h = o est sur la variété
GG — 3e,
n étant entier. On doit avoir
(a — as) +(a—a)=at+ai+aai+ai+ai—=n,
ce qui donne un nombre 4mité de systèmes de valeurs de &,, «,, «,, a, #3 (d’ailleurs r doit être une somme de deux carrés); on trouve alors un nombre limité de substitutions, qu'il faut faire suivre de la transformation la plus générale conservant GG — %*,.
5. Nous allons voir maintenant que, pour les transformes par le groupe arithmétique d'un point P quelconque du domaine (1), SG" — 3€? ne peut pas dépasser un certain maximum qu'il atteint effectivement.
En effet, considérons la variété V, de centre g = g'=1, À— 0, qui passe-par P. Les transformés de P se trouvent sur les variétés transformées de celle-ci. Mais, pour la variété V, GG" — 3e? a un maximum que nous avons appris à calculer; pour les variétés transformées, GG'— 5e? reste inférieur ou égal à ce maximum; donc, nous voyons déjà que, pour les transformés de P, GG" — 3° est borné.
Supposons maintenant que, au point P, on ait
GORE 7e,
Cherchons toutes les valeurs supérieures à #? que peut prendre GG'— 3e? pour les transformés de P. Soient r et w les valeurs des paramètres À et w auxquelles correspond la variété V. Pour qu'une transformation amenant g = g'—1, h = o sur la variété
J GQ— 3e = 2.
permette à la variété transformée de V d'atteindre et de dépasser la variété GRR,
il est nécessaire et suffisant que l’on ait GE Fm) Aime
Cela fait un nombre Emité de valeurs de », par suite un nombre limite de transformations à faire suivre de la transformation la plus générale conservant identiquement GG —3e?; donc les transformés de P ne donneront par ces transformations qu’un nombre &mité de valeurs à GG — 3?: celles qui seront supérieures à #? seront elles-mêmes en nombre limité. Donc, il y en a une qui est plus grande que toutes les autres. Notre assertion est ainsi démontrée.
Nous voyons de plus : 1° que la suite des valeurs de GG’ — 5e? pour les transformés de P est discontinue; 2° qu'en général, si GG'— 3%? a
TRANSFORMATIONS BIRATIONNELLES QUADRATIQUES. I 39
pour le point P une valeur au moins aussi grande que pour ses transformés, cette valeur n’est conservée que par les substitutions conservant identiquement GG" — 3e?; il n’y a exception que pour les points P d’une infinité dénombrable de variétés.
6. Supposons que, pour le point P, GG — 3e? soit au moins aussi grand que pour tous ses transformés. Cela veut dire que, quels que soient les entiers æ,, œ,, œ, &
L,, à; premiers entre eux, et satisfaisant à la relation (21) Ci Es + Aa OU, + AΗ O0,
on aura, en appelant g, L, g' les coordonnées de P,
(22) lu— ag +2ah+og+ age —h)|21;
et, sauf pour des points P exceptionnels, l'égalité n’a lieu que pour
Ce) (A Ca 3 CNE O.
Ainsi, tout point a un transformé P satisfaisant à ces inégalités.
Nous pouvons imposer à ce transformé P les conditions suivantes, qui, dans la plupart des cas, le déterminent d’une manière unique : (23) OS GC MNT U|G |. |
En effet, on a en général tous les points tels que P en appliquant successivement à l’un d’eux les transformations (15), (16) ou la transformation unité, et (17). Or, les transformations (16) et (17) n’altèrent pas G, ni [%}, ni G. Pour satisfaire aux inégalités (23), 1l est donc nécessaire de choisir la transformation (15) de façon à avoir
ce qui est possible d’une façon et d’une seule, sauf quand une des égalités a lieu. S'il y a lieu, on fera suivre cette transformation de la transformation (16), de manière que 3 ne soit pas négatif; enfin, on chotsira la transformation (17) de manière à ramener G,, 3, G, dans les limites imposées. On voit que l'opération est possible, et ordinairement d’une seule facon.
Les inégalités (22) et (23) déterminent le polyedre fondamental du groupe arithmétique.
7. Les inégalités (22) sont en nombre infini; mais on peut n'en garder qu'un nombre limité, les autres étant des conséquences de celles que l’on conserve et des inégalités (23).
En effet, supposons que, pour le point P satisfaisant à toutes ces inégalités, on ait
nur
On tire de là et des inégalités (23)
/ h y nQ ur À 1tôc Mais on a, d’après les inégalités (22),
[s125, HEC
en comparant avec les inégalités (23), on en tire
POAE Ne ue
Gi 2 2 Par suite, on aura ges.
Te De plus A ee A0) — (0e RE CE À 10 ALERT: ou
Pour gg’—/?, nous avons
[88 LP = (Goo — Ki — GG'+ 2) + (GG + GoG' — 2707, )°
cela nous montre que
TRANSFORMATIONS BIRATIONNELLES QUADRATIQUES. 141
ou bien 7 3 : 16 :
gg —mp< Mes lue 27 9 de Le paramètre & de la variété V de centre g=g=i, h—o qui passe par P a pour valeur is LL +2hh+ ge, + (gg! he — h2).
les inégalités écrites plus haut nous montrent que
rs Le ox
Si nous transformons cette variété V par une transformation qui
: ; : RATER ] De
amene son centre g = g'—1,h=—o sur la variété GG°— 3? = —, la variété = G /è
transformée n’a de point sur GG — 5e? = 4? que si
M inde pa O CeRrEn AL “H vil qe st INR LS 4 k2? è
en multipliant par 4#?n les deux membres, cette condition devient
(24) G+knys (Te Lee e Joe 2 \u on 9 5 n
a È F » 4 . . a S1, pour une certaine valeur de », l'égalité contraire a lieu pour #2 A nn
l'inégalité (22) sera une conséquence des inégalités dont nous venons de nous servir quand (a, —x;)+ (x, — «,)? sera égal à cette valeur de n.
Or, l'inégalité contraire à l'inégalité (24) s'écrit
