OU
Tr A 3° 7 OU 2 et pour les deuxièmes =? =.
4. Nous allons montrer maintenant que les transformés par un de ces groupes d’un point du domaine réel peuvent être aussi voisins qu'on veut d’un point réel quelconque.
Soient £,, £, &,, £,, &, des nombres réels tels que
(13) HAE Er ee 0:
Il nous suffit évidemment de prouver que, par une transformation en elle-même de la forme f, ayant le déterminant un, et correspondant à une transformation (T), les transformés d’un système quelconque de nombDrestméels, D, 4,0, 1els que
(14) HETEDERET Ts) 0
ont des rapports mutuels aussi voisins qu’on veut de ceux de £,, &,, 6, Es Ése
Nous parlerons encore de points ayant pour coordonnées æ,, æ&,, æ3, z,, æ,, en entendant par là un système de cinq nombres satisfaisant à l'équation (14).
Il existe des points dont les coordonnées font partie d’un même
corps quadratique et qui sont aussi voisins que l’on veut de (éu Le És, La és).
Il suffit pour le voir de remarquer que l’on peut trouver quatre entiers naturels æ,, #3, #,, æ, dont les rapports mutuels soient aussi voisins que l’on veut de ceux de £,, &,, &,, 6, ; alors l'équation en x,
(An Es Ts Lys T5) —=0
aura deux racines réelles : l’une d’elles complétera avec æ,, æ,, æ,, æ; un système de cinq nombres, faisant partie d’un même corps quadratique, et dont les rapports mutuels sont aussi voisins qu’on veut de ceux de tee e Es.
Nous pouvons donc nous borner à démontrer la proposition dans le cas où £,, £,, 63, 6, et Ë, font partie d’un même corps quadratique.
Nous désignerons par £’, €, &., &, € les conjugués de &,,€,,6,,6,,ë, dans ce corps quadratique. On aura aussi
ANT ER ae 2 Et) 0:
Nous pouvonstrouver quinze entiers naturels a;, b;,c;(1—1,2,3,4,5), tels que
Ds ait; = DEN ee O,
i=1 EN | A et tels que les dix déterminants :
b; b; V7 (ER 42,6,1, à)
soient premiers entre eux.
On peut alors trouver dix autres entiers d;, e; tels que le déter-
minant Ar CUS ICe
CAT M0 en CCR MCE
CRT Co MES MCE
TRANSFORMATIONS BIRATIONNELLES QUADRATIQUES, 161
soit égal à un. Posons alors
a; = y, 2:0;æ;=— y, 2:c; Li Y3;
Zi P;— Vi.
2 es on aura f(æi, Lo, Lys Ly, Ts) (y, V2) Y'3; N47 Ys),
F étant comme f une forme quadratique à coefficients entiers. La forme F(0,0,0,7,,y,) est d’ailleurs nulle pour Va — Zd;ë;, V5 —= Le; Er,
ainsi que pour pi èdié, y; Zeb;
c'est donc une différence de deux carrés.
Nous voyons par là qu'il suffit de se borner au cas où
les nombres £, et , faisant partie d’un même corps quadratique, et la forme quadratique f(0,0,0,x,,æx;) étant une différence de deux carrés.
Or, dans ce cas, la forme admet une infinité de transformations propres en elle-même, qui sont toutes des puissances de l’une d’entre
elles. Soit X;,=ax,+Bzr;
d — By — Xs= ya + ds de En
cette transformation : par les puissances positives de cette transfor-
. / YA mation, le rapport transformé de — tendra par exemple vers . par les < 5 5
puissances négatives, il tendra vers à.
Or, nous pouvons écrire CD) (TE Les Lo, ur ds) = Pin La) +A(lxi+ met naxs+ par, +qxs) —B(lx,+ma,+n'xs+p'a+g'a);
nous désignons ici par 2(æ,,æ,,æ,) une forme quadratique à coefficients
rationnels, par A et B deux nombres rationnels positifs, par /, m, 7, p, g,l,m,n',p',q des nombres entiers quelconques. Il existe des nombres rationnels «’, 8", y’, à’ tels que p Xi+gq Xs=a/(pa,+ gas) + B'(p'ri;+gq'æs), p'Xi+g'X5=7y (pa; +qæs) +0'(p'æ;,+g'æ;:);
mais, pq — p'q n'étant pas nul, il existe des nombres rationnels à, b, e, &', L', c’, tels que, si l’on pose
X'—=ax, + br, +cx;s +ax,+ôxs,
X!—=a'x+b'x;+cax;+yx,+ôxs,
on ait les identités
Lx, + ma, +nzs +pX, +gX, —= a'(lxi + MX: + nt; + pr, +qæs) + B'(l'xi+ mas+n'æ;+p'x;+gq'æs),
l'atma,+ni;+p'X.+g'X,—= y'(lx, + ma + nt, + pa, +qæs) + d'(l'x+ m'a, +n'a;+p'x,;,+gq'æs).
Si l’on pose encore
X, = 71; NE 4 XL, on aura donc
FOR REX NE (A 2 di, de)
Si, en particulier, x, et x, sont nuls, ilen est de même de X, et X', et l’on aura | JS X;, 0,0, X,; X;) = f(æ, 0,0, æ4, &s),
en admettant qu'on ait, dans X° et X’, remplacé æ, et x, par zéro. Mais Hermite a démontré (') qu'une certaine puissance de cette transformation, qui porte sur æ,, æ,, æ3, est à coefficients entiers. De mème, en annulant +, et x, ou +, et æ,, on obtient des transformations portant sur +,,æ,, æ, où sur æ,, æ,, æ,, dont certaines puissances sont à coefficients entiers. De là, il résulte qu’une certaine puissance de la transformation qui change æ,, æ,, æ.,,x,, æ, en X', X,, X,, X!, X', est à coeflicients entiers. Peut-être que cette transformation de j en elle-
(1) HermiTE, Œuvres, t. I, p. 193 et suiv.
TRANSFORMATIONS BIRATIONNELLES QUADRATIQUES. I 63
même, qui a pour déterminant un, ne correspond pas à une transformation (T), mais alors son carré y correspond quand mème.
Nous avons donc une transformation à coefficients entiers de la forme en elle-même, qui correspond à une transformation CDeHqui est de la forme
Ne X:—"%2, (16) Xs— 3;
X,= ax, + bx, + cr, +ax, + 5x,
EL CR #, f 4 Xi arr b'atcr;+ar, +B'æ;:
par les puissances positives de cette transformation, les transformés de T1 Lo T3 ZX,
np met lp
[Rai +
tendent respectivement vers 0, 0, 0, + : notre propost-
AO TT lion est donc démontree.
A la vérité, la démonstration n’est pas bonne pour les points de la variété
ci ie (æ1 Lo La) Ly, Ts) = re TA Cer Lo; 3) TL}, Ts) — 0;
ou, en revenant au cas général où £,, &,, €, ne sont pas forcément nuls, pour les points de la variété
na ol annee Gil lc Jai 0;
mais 1l est évidemment très facile de trouver dans le groupe une transformation qui amène le point initial en dehors de cette variété; il ne reste plus alors qu’à lui appliquer les puissances de la transformation (16), comme nous l'avons vu.
5. Nous voudrions maintenant montrer qu’il existe dans le groupe une transformation correspondant à une transformation (T) du premier type, ayant comme points doubles :
Po redesmasts :
1° Un point réel quelconque, dont les coordonnées Ne. Ne Le font partie d’un même corps quadratique ;
2° Lepoint(£,8,,8,£,£!)dont les coordonnées sont les conjuguées de celles du premier point;
3° Un autre point réel quelconque (,, 2, 93, n:, n;), dont les coor-
données sont seulement assujetties à faire partie d’un même corps quadratique (non nécessairement le même que le précédent), et à vérifier les deux conditions
(19) À E fa Es fn Es fn + Ex fait Es fn 0:
LE ra En fa E8 fn tr Eh Pas + Et fn 0:
4° Le point (n,,n,,n,, 1,» n,), dont les coordonnées sont les conjuguées de celles du précédent.
Nous pouvons, comme précédemment, supposer que £,, 6; et &s sont nuls. La transformation (16) a alors les points doubles indiqués, mais elle est du cinquième type, première forme.
Les deux conditions (17) deviennent ici, en reprenant la notation de la relation (15),
ni + Mn + ns + PU + gs —=0,
l'a, + mn, + n'n+ p'n+ gs = 0; comme, de plus, on doit avoir
FE, M2, 133 A4 ns) == ©), on aura
(19) D(N1; No, N3) = 0.
Il nous suffira donc de prendre pour n,, n,, n, des nombres faisant partie d’un même corps quadratique et satisfaisant à la relation (19); les relations (18) serviront alors à calculer n, et ns.
D'une facon de procéder analogue à celle qui nous a servi pour (6:,6:,6:,6,,6;), on déduit qu'on peut, sans nuire à la généralité, se borner au cas où
Il existe alors une transformation à coefficients entiers et de déterminant un de la forme
Xi = T4 (20) { Xo= Ti + Par + yzy
X3= ax, + B'x-+ Væ3,
TRANSFORMATIONS BIRATIONNELLES QUADRATIQUES. 165
et qui change les nombres
en
à un facteur près. Posons alors
X;,= ar +B'a;+y rs+ ex, Ni — Can, sit. BÈx, = V"Z3 de 24
a", 8", ÿ', à”, B”, y” étant des nombres que nous déterminons par les relations (IX, +mX, +nX,; +pX, + gx; =lx;, +ma+tnas +pr,+ qæs,
(22) l lXi+mX,+nX;+p'X,+g'X;=l'x;+m'a+n'z;+p'a+g'æs.
Les formules (20) et (21) définissent une transformation de la forme f en elle-même. Les coefficients x”, B”, y”, x”, B”, +” sont rationnels, mais pas forcément entiers; mais la considération de la forme adjointe def (0, &,, æ,, æ,, æ,) prouve que, pour une certaine puissance de la transformation, 8”, y”, 6” et Y” sont remplacés par des entiers; si alors &” et x” sont des fractions dont le plus petit commun multiple des dénominateurs est x, la puissance p de cette nouvelle transformation*sera à coefficients entiers.
Nous avons ainsi une transformation à coefficients entiers
DE Zi, X= ar; + +7yæs, (23) Xs= a'œ + Pas +yæs,
Xi= aa, +P'r +y'as+a, De — QE ee Bars Y'Æs+ De
: = A IL À quiacommepointsdoubles(0,0,0,6,,6,),(0,0,0,6,,6,), (0, 2,5» 455) et (0, 5 M5 4» 1), et qui donne lieu aux identités
ë, fx + Abe — Eee Jan fr Celica t Gofus Ne fx, Es JA, + +R = Te fe, + 8 fes + 08 fai + M5 far), nn tn nf = Tr (no fa, + 08 fes M Jet M fr) G, 22
r' est l'inverse de r; ces deux nombres font partie du même corps quadratique que +, ss 1, N5+ en remplaçant au besoin la substitution (23) par son carré, on peut supposer qu'ils sont positifs. De mème, on peut supposer que la transformation (23) correspond à une transformation (T).
La transformation (16), de son côté, donne lieu aux identités
nl M Co)
En fa Ba = R' (Bi fe + Es fes) ne Ja M8 Ja + a JR + Ms = No Je, + Ma fs M fa ns frs ne Je + JR + ni JR + Ne = 08 Jos 8 fs a fes + Ms frs
R et R’ sont deux nombres, qu’on peut supposer positifs, et qui appartiennent au même corps quadratique que £, et &,; ils sont inverses l’un de l’autre.
On peut toujours trouver deux nombres entiers & et 6 tels que les
nombres R£, R'*, rh, r'B
soient tous différents. Alors /e produit de la puissance x de la trans/formation (10) par la puissance { de la transformation (23) correspond à une transformation (T) du premier type satisfaisant aux conditions umposées. Les nombres r,,r,,r,, r,, dans cette transformation, seront égaux respectivement à R*, 7°, R%, rê.
6. Notre groupe de transformations (T) étant discontinu, il existe des fonctions invariantes par les transformations du groupe, et se comportant comme des fonctions rationnelles dans le domaine (1).
Or, d’après ce que nous venons de voir, les variétés qui correspondent pour ce groupe à celles que nous avons considérées (Chap. V, 15) passent aussi près qu’on veut de n'importe quel point du domaine (IP); il en est ainsi d’ailleurs, même si l’on se borne aux transformées d’une des substitutions du premier type que nous venons de déterminer par les autres substitutions du groupe. Il en résulte qu’en tout point du domaine (IT), qui ne serait pas un point singulier, une de nos fonctions invariantes devrait prendre la même valeur, ce qui est absurde.
Donc, pour les fonctions invariantes par ce groupe, non constantes,
TRANSFORMATIONS BIRATIONNELLES QUADRATIQUES. L 67
et se comportant comme des fonctions rationnelles dans le domaine (D), les points du domaine (III) sont des singularités essentielles.
Ces fonctions ne peuvent donc pas se prolonger hors du domaine (D). Elles sont donc uniformes partout où elles existent.
7. Si nous formons le polyèdre fondamental d’après la méthode générale que nous avons étudiée (Chap. IL), il résulte de ce que nous avons établi (Chap. IV) sur les transformations du premier type que ce polyèdre n'aura pas dans le domaine (III) de variétés à plus de quatre dimensions; dans le domaine réel, à cause des substitutions du cinquième type que nous avons rencontrées, il ne pourra avoir que des points isolés, c’est-à-dire des sommets.
Vu el approuvé :
Paris, le 19 juillet 1915.
Le Doyen DE LA FACULTÉ DES SCIENCES,
Pauz APPELI..
Vu et permis d'imprimer :
Paris, le 19 juillet 1915.
Le Vice-Recreur pe L'AcADéMIE DE Paris, L. LIARD.
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