NT — 21, PT X— 22, V

NET; Lx = 7h, on à

de sorte que le groupe des transformations subies par 2,, 3,, 3,, 3,, 3, est précisément celui que nous avions en vue. D'autre part, pour DE GA TX 7, Où à

= Er —==1, == 10; Sy, = l; See,

c'est-à-dire qu'on est au point g = g'=1, h—o.

Donc, d’après ce qui précède, et d’après ce que nous avions déjà vu (Chap. IL, S ID), le groupe considéré de transformations (T) est discontinu dans les domaines (1) et (1), comme nous voulions le dé-

montrer.

3. Pour toute transformation d’un de ces groupes, l’équation (2) en s (Chap. ID) est à coefficients entiers; il en est par suite de même du quotient de son premier membre par s — 1.1len résulte que les racines de cette équation ne sont pas quelconques.

Cherchons quelles peuvent être ces racines pour les transformations (T) de ces groupes qui ont un point double au moins dans le domaine (1). Nous savons déjà que la substitution (S) correspondante peut se transformer algébriquement en la substitution

cos o 0 — sin to) 0 cosY () — sinŸ 19} sing o COS ® 0 ; o sinŸ () cos d

les angles ? et Ÿ étant quelconques. Les racines de l'équation en s considérée sont alors

(11) : e+itg+h), e+itp=-Ÿ),

Or cette équation est de la forme Ge) s'+as+bs+as+i—=o,

a et b étant des entiers. Pour que ces racines soient de la forme (rt); il est nécessaire et suffisant que l’on ait

On trouve ainsi un nombre limité de systèmes de valeurs pour les entiers a et b. En remplaçant au besoin la substitution correspondante par son inverse, et en observant qu’on peut échanger les angles ® et Ÿ, on trouve ainsi les systèmes suivants de valeurs de 9 et de Ÿ :

16 a—=—{, G = OO 0, Le 0 T T 2° A ——, DEN PE YTLS; T 00 a—=— 2, br=3 P= 3 V0} T T 4° a —— 92, be 1P— 7) VERS 4 4 DT T 5° Deal, DOTE) d—=+E—; : 12 12 2T T 6° A—=— 17, br 0 —; WE F 5 T T 7S a——1, DE D— >) PE; T 8° 0; b=—= 2 de. DE OS T T 0° 4 —0, D LES Y—+z; T T 10° d—0, DO LG, DR 1 2 4 T T TA = 0 bD—=—1:p—=— rie:

? P 3" D Et f29 C5) b——5:9—7, d—+T; 2 2 T 13° a=1, bo tt

La D

TRANSFORMATIONS BIRATIONNELLES QUADRATIQUES, 159

o 3T T 14 NS bn Ve Y=+z; 15° Cheap b—0o = ..

16° C2) DS = b=—=0 3T T y GER b—® re MES 2 So +. 5T T I D 0) br DE) PES; 19° LE BURN EE, U—= 0.

Le même calcul s’applique aussi aux transformations de ces groupes qui seraient du sixième type, troisième forme, ou du huitième type, deuxième forme. On trouve ainsi que l'argument des racines imaginaires de l'équation en s (1) (Chap. Il) sera, LE les premières, au

: \ T T signe pres, a