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1 •+- UU X I -f- vv x

De ces formules et de celles qui définissent x , y , z > p on déduit aisément les relations

--*-7Tifr=;[-i+«-E3«-*>]

On trouverait des expressions analogues pour y et pour z.

D'où, en désignant par x', y', z'; x",y, z" les coordonnées des surfaces r\, 8,

D'où Ton déduit cette proposition :

Toute sur/ace E est décrite par le milieu d'un segment dont les extrémités

24 M. DE MONTCHEUIL.

relient les points à normales opposées de deux surfaces définies par la relation •

du du {

La développée moyenne d f une surface E est le lieu du milieu d' un segment reliant deux à deux les points des développées moyennes des surfaces vérifiant r équation précédente.

L'étude des surfaces S peut donc être ramenée à l'étude de ces dernières surfaces.

De ce que nous venons de dire on peut conclure que les deux relations

définissent les mêmes surfaces.

Reprenons l'équation

Elle peut s'écrire

Ê = P(ii«+ u\) - a(p«+ v\) = \(n - ««, 0),

en posant

n = 2$(u*-h u\) 9 fl = aa(p"+j'J),

équations qui définissent deux cyclides de Dupin.

Les surfaces en question sont donc décrites par le milieu d'un segment dont les extrémités relient deux points à normales opposées de ces cyclides.

On aurait pu poser

n = 2(u i + u]) 9 = a(v f -t- ef).

L'équation devient alors

Ici les extrémités du segment décrivent la même cvclide. Seulement le point décrivant n'est plus nécessairement le point milieu.