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Nous plaçant maintenant à un autre point de vue, imaginons que, les relations (ï), (2), (3), (4) restant les mêmes et les quantités variables Ç, u, u,; Ç, v, v, conservant les mêmes valeurs, ces deux groupes de quantités appartiennent tous les deux au premier système de coordonnées. Dès lors, ces formules doivent s'inter-

prêter différemment. L'équation (3) définit une surface nouvelle S< transformée de S par la transformation (1) et si l'on désigne par x iy y iy z tJ p, des quantités analogues aux précédentes se rapportante S ( , on voit que les derniers membres du système (4) représentent, à un facteur constant près, les quantités z K , p< , x K , y K . Nous tirons de là la conclusion suivante : soient donnés deux systèmes de valeurs des coordonnées du premier système reliées par les formules

ri l Ç=— — » v~u, *>, = ,

les quantités x ,yo, *o> ?*\ x \, y\> z \-> ?i relatives aux deux surfaces

déduites l'une de l'autre par la transformation précédente, sont liées par les relations

Ces formules s'appliquent à des surfaces quelconques. Elles montrent en particulier qu'une expression de la forme

peut être transformée en une expression de la forme

D'où cette conséquence :

Le problème qui consiste à chercher les surfaces définies par une relation entre la somme des rayons de courbure et les coordonnées x , z de leur développée moyenne se ramène à la recherche des sur/aces qui admettent une développée moyenne donnée.

Considérons maintenant les surfaces H, et cherchon3 la forme de leur équation, dans le second système. Cette équation écrite dans le premier est de la forme

Ç= w t <p(w)H- nftficJ-f-ipffO-t-^ffii).

20 M. DE MONTCHEUIL.

Dans le second système, on aura

D'où

On voit que dans les deux systèmes la forme de l'équation est la même. Si donc on interprète la même formule successivement dans chaque système, on obtient deux surfaces transformées qui appartiennent à la fois à la classe des surfaces S.

Une des principales propriétés de la transformation (i) est la suivante :

Toute surface minima se transforme en une surface à développée moyenne plane, et, réciproquement, toute surface à développée moyenne plane se transforme en une surface minima, pourvu qu'elle admette le plan des x, y pour plan de la développée moyenne.

Celte propriété découle immédiatement des deux formules du système (5)

yi=ipQ, pi = (ro.

Ainsi est démontré que la catégorie des surfaces à développées moyennes planes rentre dans celles des surfaces H.

Des formules précédentes on peut encore déduire cette proposition :

La même équation définira V ensemble des surfaces minima ou celui des surfaces qui admettent un plan réel pour développée moyenne, selon qu'on interprétera cette équation dans l'un ou l'autre des systèmes de coordonnées d'O. Bonnet.

Comme application de cette proposition considérons la surface d'Enneper. Elle vérifie l'équation

Considérons celte équation comme écrite dans le second syslème. On a alors

Ç = a(rp 1 -r-3)(^H-PÏ).

Revenant au premier système, nous avons

On vérifie que celle équalion entraîne la relation *

On a donc bien une surface à développée moyenne plane. Les lignes de courhure de la surface transformée sont données par les relations

UU X — I UU i -+» I

C'est donc une surface à lignes de courbure planes.

Revenant au cas général, cherchons la nature de la correspondance qui relie les points d'une surface S à sa transformée S,.

Soient c, c', c" les cosinus directeurs de S; c § , c',, c\ ceux de Sf. Des relations

on lire

Ci^= l -. y C = l— l -i

& Ci

Ces relations montrent que, lorsqu'on passe d'une surface à sa transformée, les méridiens se changent en parallèles, et réciproquement.

Les formules (4) montrent que, lorsqu'on passe du premier système de coordonnées au second, l'équation

auoui au ôu x

qui définit les surfaces minima, se transforme en l'équation

qui est une équation d'Euler et de Poisson.

D ailleurs cette dernière équation entraîne

On voit donc que l'équation S définit une catégorie de surfaces (les surfaces

22 M. DE MONTCHEUIL.

admettant an plan réel pour développée moyenne) vérifiant une équation d'Euler et de Poisson. Cette observation nous amène à rechercher dans quelle mesure les relations qui existent entre les solutions des équations de cette espèce subsistent pour l'ensemble des surfaces S.

On vérifie les résultats suivants :

Soient £ une solution quelconque de l'équation 3, a, a 4 , 6, c, d des constantes quelconques, cette équation admet les solutions

£'=( au + a lWl )»^( " )

du oui \au -+■ a x u x )

S t , = (auu i -^ a t )»— — ( * ),

ou OU\ \auu\ «+- d\J

£' =z(au -+- b){au t +- b)U r > — T ),

» à\ . à\ ou ou x

^ OU OUi

En terminant ce paragraphe, nous signalerons une forme de la fonction Ç, solu -tion de l'équation S, avantageuse dans bien des cas. Écrivons

£ = ttiA-f-i/A,-hB H-B!=:B-f-B,-Mtt,( -)•

\ « ii,/

Posons

Y) ~. 2(BH-B t ),

et concevons 6 comme exprimé en fonction de p f v A . On aura alors

£ = i(T>-i/ Ml 0), 7), Q étant des solutions respective* des équations

duôu x 9 dvdv x

Si nous désignons maintenant parx,, y' , z'„, p' ; x' , y' , z\, o" les quantités analogues aux quantités x ,y , z , p , celles-là étant respectivement relatives aux surfaces S définies par les fonctions t) et 0, on trouve les relations

i / dn dn \ t / d6 dQ\__ x' + x"„

v- 'Y*" dl> \ , C ( d9 d9 \ - ?•+■*

i / du <*) \ • /, dd d0\ z[

i / dn dn\ i / de d9\ o\

o - PÏ

On a d'ailleurs, en vertu des formules qui relient les quantités u, u iy p, v { ,

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