V. — Surfaces réelles

Avant de passer aux applications, nous allons établir une règle pour la détermination des surfaces réelles.

Soit toujours

\ — A u x -+- A, u -+- B -+- Bt

la formule qui donne les surfaces 3. La règle annoncée est la suivante :

Pour obtenir toutes les surfaces S réelles, il suffit de prendre pour A, A| d'une part) B, B ( de Vautre, des couples de fonctions conjuguées.

11 est d'abord évident qu'en déterminant ces fonctions de la sorte on aura

des surfaces réelles. Controns que, par ce procédé, on déterminera toutes les

surfaces de celte nature.

Posons

u = a -+- i j3, «i = <x — #p, il vient

ôcx. 1 d|3* duàu t \du du x

Le premier membre étant réel, il doit en être de même du dernier. On en conclut que les deux fonctions A, A| doivent être conjuguées, à un terme linéaire près.

On peut donc écrire

A z=z <A* -+- a u -+- a'; A { = rA*, -+- a x w, -h a\,

X, X, désignant deux fonctions conjuguées; a, a', a,, a\ quatre constantes telles que a -+- a K soit réel.

Nous avons alors la relation

£ A„ Ml — X x u = (a -h a t )t<f< t + a' t w -f- a'w t 4-B -+- B t .

Le premier membre étant réel, nous devons déterminer le second de façon qu'il le soit aussi.

Désignons par ifb, iib| deux fonctions conjuguées; par X, X, deux constantes;

on aura

B = Ub — a\ u -\-\

B,= lfi>|— a'wi-h Xj DR M. 4

20 M. DE MONTCHEUIL.

et Ç prendra la forme

£r= -A>u l -h <JU t w -H Db -+- llî» t -+- (a -h <Z,)ui/j H- X -4- ^,.

Cette formule montre qu'on peut poser, sans restreindre la généralité de la solution,

\ devant être réel, a, a l? X, \ K devront représenter des quantités réelles. Mais alors, si l'on se reporte aux expressions des fonctions A, A i? B, B 4 , on voit qu'elles définissent bien des quantités conjuguées.