APPLICATIONS

Nous avons exposé dans l'Introduction la méthode de classification qui nous paraissait la plus naturelle. Il nous reste à expliquer ici pourquoi nous avons cru pouvoir réduire à deux les classes de surfaces dépendant de deux mêmes courbes. A vrai dire, les trois combinaisons de couples de courbes qu'on peut imaginer nous amèneraient à considérer trois catégories de surfaces, respectivement définies par les trois équations

(0 T ^p-=A'+A' 1> "ix^T-- T^aiAi-A.-B', £4=f/iÀ'-*-B'. v ' du ou x l ôuoux ou iii fi u * i

Mais on peut remarquer que, par la transformation

la seconde équation devient

àuûui

V(») + *i{viY

Par suite, selon qu'on l'interprète dans l'un ou l'autre des deux systèmes de coordonnées, la même équation donnera les deux catégories de surfaces définies par les deux premières équations du système (i). Les deux systèmes de coordonnées ayant d'ailleurs entre eux la plus grande analogie, nous croyons pouvoir ranger dans une même classe les surfaces définies par ces deux équations.

28 M. DE MONTCHEUIL.

Nous allons considérer d'abord les cas particuliers qu'on obtient en annulant les diverses fonctions.