II. — Deux fonctions sont nulles

Nous avons déjà remarqué que les surfaces pour lesquelles deux fonctions sont nulles se réduisent à deux classes, respectivement définies par les équations

- = a' -f- a; , ~\ = ti % a" -f- ir .

du àtii du

Étudions les deux cas particuliers que l'on obtient en annulant les seconds membres.

i° Surfaces - — .-- = o.

J duâiti

L'intégrale générale de l'équation que nous éludions est donnée par la for-

mule

Les coordonnées de la développée moyenne sont données par les relations

B — kB'+B,-

Ces formules permettent d'énoncer la proposition suivante :

Les développées moyennes des surfaces considérées, que nous appellerons désormais surfaces E 4 , sont formées par l'ensemble des surfaces vérifiant l'équation r+ t = o, surfaces de translation décrites par le milieu d'un segment dont les extrémités décrivent deux courbes planes quelconques tracées dans deux plans isotropes.

Nous supposons ici

x,y, z désignant les coordonnées cartésiennes de la développée.

Tout point de la développée moyenne d'une surface S, est à égale distance du plan tangent à la surface et du plan des xy. Cette proposition admet une réciproque.

En effet, pour toutes surfaces jouissant de cette propriété, on doit avoir

c'est-à-dire

2[ OUÔU x OU OU l

D'où

de/ du x

De cette propriété nous pouvons déduire un mode de construction très simple des surfaces 3.

3o M, DE MONTCHEUIL.

Considérons la sphère tangente au plan des xy dont le centre décrit la développée moyenne de la surface. Il résulte de la relation p =z que cette sphère enveloppera la surface Ë f .

Ainsi donc :

Toute surface S| est V enveloppe d'une sphère tangente au plan des xy dont le centre décrit une surface quelconque r -+- * = o, c'est-à-dire est le milieu d y un segment reliant par ses extrémités deux courbes tracées dans des plans isotropes.

De cette proposition et de celle que nous avons énoncée (p. 24) nous pouvons déduire la construction suivante :

Soient données deux sphères tangentes à un plan fixe, dont les centres décrivent deux surfaces définies par l'équation r -h t = o ; le lieu du milieu du segment reliant les points à normales opposées des enveloppes de ces sphères représentera la surface S la plus générale. La développée moyenne n'est autre que le lieu du milieu du segment reliant les centres des deux sphères.

Les lignes de courbure des surfaces E t s'obtiennent par des quadratures. Ces lignes sont en effet définies par l'équation

ou* au\ l

D'où Ton tire

p— fs/'Wdu-h ly/ÏÏ[du x% p, = 1 Çy/Wdu — i fsJWîdu,.

Cherchons maintenant les relations qui existent entre les plans tangents et les normales des surfaces S, et de leurs développées moyennes.

Désignons par c, c', c"; C. C, C" les cosinus respectifs des normales aux deux catégories de surfaces.

On a la relation

C dx h- C dy h- C" dz« — o.

Portant dans celte formule les valeurs de dx , dy , dz déduites des formules

SUR UNE CLASSE DE SURFACES. 3l

qui donnent x , y 0) z (p. 9) quand on y fait A = o, A ( = o, on trouve

it •+- u , C'=i

1\J\ -h uu x

\/\ -h uu x

On trouve de même

?.sj\ -+- f/// t

L'équation du plan tangent à la développée moyenne de la surface S,, qui peut s'écrire

devient alors

(u -+- w,)X +- i("i — «)Y — 2Z4- B -4-Bi = o.

D'autre part, l'équation du plan tangent à la surface E, est

(u -+- mOX -+- i(u t — u)\ -h (uu l — iJZ + B + B^o.

On en conclut que les plans des deux sur/aces coupent le plan des xy suivant une même droite.

Des relations précédentes on déduit

Cette relation montre que les méridiens des deux surfaces se correspondent. Posons

c*=:cosy, C"=cosr.

On a d'ailleurs

D'où Ton tire

cosy -+- cos2r = o.

Telle est la relation qui donne l'angle avec l'axe des z des parallèles d'une

32 M. DE MONTCHEUL.

des deux surfaces en fonction de l'angle avec le même axe des parallèles de l'autre.

Nous venons de voir que les plans tangents aux points correspondants des deux surfaces se coupaient suivant des droites situées dans un même plan. Par suite, les développables de la congruence des droites reliant ces deux points découperont les deux surfaces suivant des systèmes conjugués, et comme cette congruence est ici formée de normales à la surface S,, il s'ensuit que les familles de courbes correspondant sur la développée moyenne aux deux familles de lignes de courbure de la surface forment un système conjugué.

C'est d'ailleurs ce qu'il est aisé de vérifier. Le calcul montre que les trois quantités x 0i y , z sont trois solutions de l'équation

les fonctions F, F< étant définies par les relations

p, p, sont ici les paramètres des lignes de courbure définies plus haut.

Aux lignes de courbure de la surface £< correspond un système conjugué sur la développée moyenne, nous venons de le voir. Par suite, d'après un théorème connu, sur les deux nappes enveloppes de la sphère tangente à la surface dont le centre décrit la développée moyenne, les lignes de courbure se correspondent. Ici, la seconde nappe est formée du plan des xy. Il s'ensuit qu'au système des lignes de courbure de la surface correspondra un système orthogonal sur le plan des xy. C'est ce que l'on constate aisément.

ÎNous venons de déterminer une congruence de normales à une famille de surfaces dont les développables découpent sur la développée moyenne un système conjugué.

D'après un théorème de M. Cosserat, de telles congruences ont même représentation sphérique de leurs développables que les lignes asymptotiques d'une surface qui correspond à la développée moyenne avec orthogonalité des éléments.

Cherchons à déterminer cette seconde surface.

Soient x , y Q , z les coordonnées de la développée moyenne, x,y y z celles de la surface cherchée. Les deux surfaces se correspondant avec orthogonalité des

éléments, on a la relation

dx dx -+- dy dy -+- dz dz = o.

D'où le système

dx .dy dz dx . dy dz

tfw dw aw du x du x du x

D/r ( dx . dy dz \ >„ /dx .dy dz \

\du x du x du x J l \du du du x J

La résolution de ce système nous donnera les valeurs de x,y, z. Cherchons les solutions de ces équations qui vérifient les relations

du du x ' . du du x du du x

On obtient le système

rt(B; — B')-*-*i( Çu\W x du i — fu*Wdu\

— k(B'-h B\) + k x ( fu\W x du x -+■ fu'B" du\

:, ( CuW du — fu x B\ du\

A , /r< représentant ici des constantes quelconques.

On trouve pour expression des cosinus directeurs de la normale

y/4 k \ uu x -+- ( A, ww, -+- A )*

ik x (u x — u) \Jl\k\ uu x -{- (k x uu x -+- k)*

k x uu x -+- k \/[\k\uu x -\- (k x uu x -+- k) 1

Cela posé, considérons le cas particulier où l'on a

de M.

34 M. DE MONTCHEUIL,

Les dernières formules deviennent alors

i -f- uu l

. Mi— //

«Mj — I