I -f- Ifff

On voit que les surfaces trouvées sont parallèles à la surface S,. Ces coordonnées sont ici données parles relations

f (i + it')B' du -h Ai + ^B;*/,

relations qui définissent une surface minima.

Or, les lignes asymptotiques de cette surface sont définies par l'équation

Wdu* — \ï\du\-o,

qui est aussi l'équation des lignes de courbure de la surface S,. Nous pouvons donc énoncer cette proposition :

Les développables de la congruence des normales à une surface S, ont même représentation sphérique que les lignes asymptotiques d'une surface minima correspondant à la développée moyenne de E, avec orthogonalité des éléments.

Aux points correspondants, les plans tangents de la surface S, et de la surface minima sont parallèles.

On connaît les découvertes de Ribaucour (') relatives aux enveloppes de sphères dont les lignes de courbure se correspondent sur les deux nappes, et comment il en déduit des systèmes triples orthogonaux. Ces théorèmes ont ici leur application. Nous venons de voir, en effet, que la surface S, et le plan

(*) Ribaucour, Sur la déformation des surfaces {Comptes rendus de l'Académie des Sciences de Paris, t. LXX, 1870, p. 33o).

des xy constituent les deux nappes de l'enveloppe d'une sphère variable dont le centre décrit la développée moyenne de cette surface, et que sur ces deux nappes les lignes de courbure se correspondent. Pour appliquer la construction de Ribaucour, nous pouvons considérer la congruence des cercles normaux aux deux nappes, en leurs points de contact avec la sphère. Cette congruence de cercles sera normale à une famille de surfaces. Si Ton associe à cette famille les deux familles de surfaces formées des cercles rencontrant la surface £< suivant ses deux systèmes de lignes de courbure, on aura un système triple orthogonal.

Cherchons les équations de ces cercles.

Soit D la droite intersection commune des plans tangents à S, el à sa développée moyenne avec le plan des xy. Cette droite vérifie les deux équations

(tt + tt 1 )a: + i(u x — u)y -h B -+- Bj = o,

Le cercle cherché sera l'intersection d'un plan perpendiculaire à cette droite passant par le point x Ql y , z de la développée moyenne et d'une sphère ayant pour centre l'intersection de la droite D avec la trace horizontale du plan perpendiculaire à D. Cette sphère aura pour rayon la distance de son centre au point de coordonnées x Qf y Q , o, coordonnées de la projection du point x , y 09 z sur le plan des xy.

Le plan du cercle a pour équation

u H- u x «(a, — u) La droite D t , trace horizontale de ce plan, est donc donnée par le système

X Xf m m ..

U -+- U x l(u x — tt)

En tenant compte de la relation établie plus haut

(u -h u^XQ-h *(«i— u)y — 2 -o +- B + B, = o,

on trouve pour coordonnées du point P, intersection des droites D et D t ,

2WH, .Ml— U

Telles sont les coordonnées du centre de la sphère.

36 M. DE MONTCHEUÏL.

Son rayon nous sera donné par la formule qui exprime la distance du point x , y 0} o à la droite D. On trouve

^ __ (u -h u x )x Q +- i(u x — u)y -t- B + Bi ___ z

Finalement le cercle de la congruence est défini par le système

x — Xq y—y u -+- m, i(u l — u)

uu, [(x — x )* 4- (y — y )* + s ! ]4-[(a + u x )(x — x ) + i(u t — u)(y — y )]s = o.

Cherchons l'équation en coordonnées d'O. Bonnet de la développée moyenne aux surfaces S,. Nous avons vu que leur équation peut s'écrire

Désignant par v, v h , Ç les coordonnées de ces surfaces, on trouve

w== j a,= — > B-hB,=

I W, I VV X I ^i' t

On trouve donc que l'équation des surfaces définies en coordonnées carte siennes par l'équation

devient, en coordonnées de Bonnet,

L X 1 — wj A 1 — ^i/J

L'équation des lignes asymptotiques est ici

"['(î^)]'^Kt^)] , = -

c'est-à-dire

B'' tf a* -h B'; rfa* = o.

On obtiendra donc ces lignes par des quadratures.

jSi nous, rapprochons les divers résultats obtenus dans ce paragraphe, on en déduit aisément que, tandis que l'équation

B"du*+B\du\ = o

représente à la fois les lignes asymptotiques de la surface r -f- t = o, développée moyenne de E|, et les lignes de courbure d'une surface mi ni ma correspondant à cette développée moyenne avec orlhogonalité des éléments; l'équation

B'rfw 2 — B'; dit\ — o

représente en même temps les lignes de courbure de E, et les lignes asymplotiques de la surface minima. Nous pouvons donc formuler celle proposition :

Etant donnée une sur/ace quelconque S, il existe une sur/ace minima correspondant à sa développée moyenne avec orthogonalité des éléments, et telle que ses lignes de courbure correspondent aux lignes asymptotiques de la développée, tandis que ses lignes asymptotiques correspondent aux lignes de courbure de H f .

Nous venons de considérer l'équation

Ouàu l '

comme écrite dans le premier système d'O. Bonnet, et nous avons dit que nous rattacherions à la même classe les surfaces définies par celte même équation considérée comme écrite dans le second système. Nous allons dire quelques mots de cette catégorie de surfaces.

Soit donnée l'équation aux dérivées partielles

au âu l ou

Cette équation définira un ensemble de surfaces déterminées par la relation (2) F(a, u if Ç) = o.

Effectuons la transformation

fi *'i

La relation (1) devient

av âv l

38 M. DE MONTCHEUIL.

tandis que la relation (2) prend la forme

Considérons les deux systèmes de valeurs u y u t , £; e, P|, Ç comme appartenant au premier système. Si nous désignons par # , y oy z-q, p les coordonnées de la développée moyenne et la 'demi-somme des rayons de courbures relatives aux surfaces définies par (2); par x^y K , z t , p t les quantités correspondantes relatives aux surfaces définies par (2)', des formules (5) (p. 19) et des formules (3), écrites à l'instant, il résulte qu'on a les relations