I -+- VV X M, — M
Telles sont les formules qui permettent de déduire les éléments d'une surface définie par la relation (1) des éléments d'une surface définie par la relation (i)' et réciproquement.
Ces formules nous permettent de démontrer immédiatement une propriété fondamentale des surfaces définies par la relation (1).
On a en effet, pour les surfaces définies par la relation (i)',
*i=Pi- Des formules (4) on déduit
oc§ iy '0 nz o#
On voit donc que les surfaces considérées admettent pour développée moyenne un plan isotrope.
En se plaçant à un point de vue un peu différent, on peut encore exprimer ce résultat comme il suit :
Selon qu'on l'interprète dans l'un ou l'autre système de coordonnées d'O. Sonnet, l'équation
du âiii
SUR UNE CLASSE DE SURFACES. 3fl
définira les sur/aces enveloppes d'une sphère tangente à un plan fixe dont le centre est le lieu du milieu d'un segment reliant par ses extrémités deux courbes tracées dans deux plans isotropes, ou bien les surfaces à développée moyenne plane isotrope.
Les lignes de courbure sont données par l'équation
u x et s'obtiennent par des quadratures.
2 Surfaces à rayons de courbure égaux et de même sens.
C'est sous cette désignation que se révèle la caractère fondamental des surfaces définies par l'équation
que nous avons à considérer maintenant.
Cette équation, dont la solution générale est de la forme
définit une classe de surfaces étudiées par Monge. Dès le début de ce Travail nous avons remarqué que la catégorie des surfaces S renfermait les surfaces minima, c'est-à-dire les surfaces définies par la relation R + rV= o. On est tout naturellement amené à se demander si les surfaces qui vérifient la relation R — R'= o ne feraient pas partie de la même catégorie. Nous allons voir qu'il en est ainsi, et que les surfaces en question ne sont autres que celles dont nous abordons l'étude.
Dans un de ses Ouvrages, Monge ('), après avoir étudié l'équation des surfaces à rayons de courbure égaux et de sens contraires, aborde celle des surfaces à rayons de courbure égaux et de même sens.
Il forme leur équation aux dérivées partielles qui, en coordonnées cartésiennes, est de la forme
ii(^-5 , )(H- J p , + y , )-[(i + ^)r-2^ + (r-i-/? ! )i] , = o, et qu'il intègre par sa méthode des caractéristiques. L'auteur expose ensuite les
(' ) Monge, Application de V Analyse à la Géométrie rédigée par Liouville, 5 6 édition.
4o M. DE MONTCIIEUIL.
])rincipales propriétés de ces surfaces. Il montre que ce sont des surfaces réglées n'admettant qu'un système de lignes de courbure (la sphère exceptée) dont, par suite, tous les points sont des points ombilicaux analogues aux quatre points ombilicaux de l'ellipsoïde.
Ossian Bonnet ( 4 ) a considéré les mêmes surfaces. Posant l'équation qui définit les rayons de courbure, il écrit la condition pour que les deux rayons soient égaux et obtient ainsi, en coordonnées cartésiennes, l'équation aux dérivées partielles des surfaces cherchées.
Nous avons affirmé que les surfaces à rayons de courbure égaux et de même sens' étaient des surfaces S définies par l'équation
ou 2
C'est ce que l'on vérifie immédiatement.
On a, en effet,
R + R'.-(i + On voit- donc bien qu'il faut avoir
du* ou
ou]
Il suffit évidemment de considérer la première équation.
Ces surfaces sont bien des surfaces réglées. En effet, si nous formons les expressions des coordonnées x, y, z de la surface, nous trouvons trois expressions de la forme
M,, N n I\, Q, désignant quatre fonctions de w,, expressions qui définissent les coordonnées d'une surface réelle.
L'équation des lignes de courbure
-j-^ du- — du] = o
Ou- Ou: l
(!) O. Bonnet, Note sur les sur/aces dont toutes les lignes de courbure sont planes (Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences de Paris, t. XLII, i856, p. 1067).
SUR UNE CLASSE DE SURFACES. ^l
devient ici
On n'a donc qu'un système de lignes de courbure, sauf pour le cas de la sphère. Car alors on a simultanément
du~* ~ °' dû\ ~ ° 4
L'équation des lignes de courbure est de la sorte identiquement satisfaite.
La forme même de l'équation de la surface nous montre que tous ses points sont ombilicaux.
Cherchons ce que devient, dans le cas présent, notre mode de construction relatif à la congruence des normales.
Les fonctions A, B étant nulles, le premier plan isotrope est défini par une équation de la forme
L'une des développables isotropes se réduit donc à un cône.
D'ailleurs la première courbe enveloppée par le premier plan isotrope se réduit ici au point de l'origine, sommet du cône isotrope, et par suite l'une aes extrémités du segment reste fixe. Nous obtenons donc la* construction suivante : Soient donnés une développable isotrope quelconque et un cône isotrope ayant son sommet à l'origine. Considérons un segment dont l'une des extrémités reste fixée à l'origine, tandis que l'autre extrémité décrit une courbe quelconque tracée sur la développable. La construction de Lie donnera alors pour lieu du milieu du segment une simple courbe, homothétique à celle de la développable. Si au contraire nous associons à la considération du segment celui de la droite menée par son point milieu parallèlement à V intersection des plans tangents à la développable et au cône isotrope, la congruence ainsi définie sera celle des normales à V ensemble des surfaces à rayons de courbure égaux et de sens contraires.
Les surfaces réglées imaginaires de J.-A. Serret (*), qu'il obtient en intégrant l'équation
a*(rt — s*) -H (i -h />*-*- g % ) % = o,
sont un cas particulier de celles de Monge. Ici les rayons de courbure sont non seulement égaux, mais encore constants.
( ! ) J.-A. Serret, Journal de Liouville, t. 13, 1848, p. 364. de M.
42 M. DE MONTCHEUIL.
M. Goursat (*) a montré que ces surfaces sont l'enveloppe d'une sphère de
rayon y/ — i dont le centre décrit une courbe niinima. Lorsque ce centre décrit sa trajectoire, une des génératrices rectilignes de la sphère se déplace et engendre la surface. Ce mode de construction entraîne celui qu'on déduit de notre méthode générale. Comme pour toutes les surfaces de Monge, un des points du segment restera fixe. Seulement ici l'autre extrémité, au lieu de décrire une courbe quelconque, décrira une courbe minima.
