IV. — Surfaces doubles
Nous venons d'étudier une série de cas particuliers qui s'obtiennent méthodiquement par l'annulation des diverses fonctions arbitraires. 11 nous reste à considérer quelques classes de surfaces caractérisées par des propriétés intéressantes.
Au premier rang, nous ferons figurer les surfaces doubles. Nous désignons ainsi les surfaces S susceptibles d'être déterminées de deux manières différentes, au moyen d'un segment dont les extrémités décrivent deux courbes données. On prouverait aisément pour les surfaces S, en général, comme on le prouve pour les surfaces minima en particulier, que si l'une d'elles peut être engendrée au moyen de deux courbes données, tous les systèmes de courbes donnant la même surface s'obtiennent en imprimant deux translations égales et de sens contraire aux deux courbes précédentes.
Si nous négligeons cette translation, d'ailleurs sans influence sur la nature des surfaces, nous trouvons deux solutions du problème. La première catégorie de surfaces doubles S s'obtient en prenant deux courbes périodiques de même période. On obtient la seconde solution en identifiant les deux courbes données. Alors les deux extrémités du segment décrivent la même courbe (*).
L'exactitude de ce que nous venons de dire ressort de cette observation que, une surface de translation étant donnée, il n'existe qu'une seule famille de
(*) Darboux, Théorie des sur/aces, t. I, p. 343.
44 M. DE M0NTGHEU1L.
surfaces S parallèles correspondant à cette première surface. Par suile, toute la théorie des surfaces doubles E se ramène à celle des surfaces doubles de translation, laquelle est elle-même basée sur les mêmes principes que celle des surfaces doubles minima.
Nous allons déterminer les surfaces doubles S.
La solution est immédiate, quand on part de la formule
On a ici
La condition nécessaire et suffisante pour que Ç définisse une surface double est que les fonctions 7| et considérées respectivement comme exprimées au moyen des groupes de variables u, u t $ *>, v t soient des fonctions identiques.
La condition est nécessaire. Pour le démontrer, il suffit de répéter, par rapport au segment reliant les points à normales opposées des deux surfaces tj, 0, la démonstration de M. Darboux relative au segment reliant les points des deux courbes minima. On verrait que les deux surfaces yï, 8 doivent toujours se déduire Tune de l'autre par une translation. Si nous négligeons cette translation sans influence sur la nature de la surface 3 nous pouvons conclure à l'identité des deux surfaces.
La condition est suffisante. En effet, le segment mobile reliant les points à normales opposées des deux surfaces 7[ 7 0, si ces deux surfaces se confondent dans le déplacement du segment, les deux extrémités de celui-ci échangeront leurs positions et, par suite, le point milieu décrira deux fois la surface.
Écrivons £ sous la forme
£ = u t <p(a) -f- u ÇjK) -*- <M w ) ■+" tyl(*t)f d'où
On voit donc que les fonctions d'une part,
de l'autre y doivent être identiques.
Des considérations précédentes on peut déduire les deux procédés suivants de construction des surfaces doubles :
i° Soit donnée une courbe quelconque ; par le milieu d'un segment mobile reliant les points de contact de deux plans isotropes tangents à la courbe menons une parallèle à ces plans, cette droite définira Vêlement de la congruence des normales aux sur/aces doubles S.
2° Soit donnée une sphère variable tangente au plan desxy, dont le centre est le milieu d'un segment reliant les points de deux courbes tracées dans les plans isotropes passant par Vaxe des z, si l'on relie par une droite les points à normales opposées de V enveloppe de cette sphère, le milieu de ce segment décrira encore lés surfaces doubles S.
Pour donner une application de la théorie précédente, considérons la surface définie par l'équation
Si Ton pose
M vient
0=— tf(*> 8 -t- V\), **! = — ->
£ = i(T0 — uu x Q).
Nous avons donc une surface double, lieu du point milieu du segment dont les extrémités relient les points à normales opposées de la surface
Tout se ramène donc à l'étude de cette surface. Appliquant les formules (3) (page 9) où l'on fait
A = Àt = o, B=— au z > Bt = — aw},
on obtient les deux courbes définies par les systèmes
x -H iy = o, x — . iy = o,
54a*'— (x — iy)*=o 9 » 5^az % — (x ■+- iy)*=o.
La développée moyenne, lieu du milieu du segment relatif à ces courbes, a pour
équation
sfîja
46 H. DE MONÎCHEUIL.
L'équation des. lignes de courbure, qui est ici
u du 1 — «i du \ = o
donne
(x + iyY 4- (x — i» 4 = p, (a? -j- iyY — (a? — i»* = p,.
Par suite, d'après les conclusions de la page 37, on voit que les lignes asymplotiques de la développée moyenne seront données par les formules
( x -f- iyY -+- i(x — iy) T = X,
(x -h iyY — i(x — iy) k = X,.
La courbe unique que décrivent les extrémités du segment relatif à la surface £ elle-même est définie par les équations
( x -+- *>)*-+- {x — iy) % — as 1 — (3 = o, où Ton a posé
La courbe est donc l'intersection d'une cubique et d'un cylindre de révolution.
V. — Surfaces minima. Surfaces a développées moyennes planes.
Nous ne nous étendrons pas sur les propriétés des surfaces minima, surfaces qui ont fait l'objet de nombreuses recherches. Nous nous bornerons à les considérer dans leurs relations avec une classe de surfaces qui appartiennent aux surfaces E; nous voulons parler des surfaces à développée moyenne plane. Par des méthodes différentes, O. Bonnet (*) et M. Darboux ( 2 ) ont montré quel lien étroit rapprochait ces deux catégories de surfaces. Nous allons retrouver des résultats analogues à ceux de ces éminents géomètres. Il faut toutefois remarquer
(!) O. Bonnet, Note sur les sur/aces pour lesquelles la somme des rayons de courbure principaux est égale au double de la normale {Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences de Paris, t. XLII, i856, p. 110).
(*) Darboux, Théorie des surfaces, t. IV, p. 90.
que nous ne considérons pour le moment que les surfaces admettant pour développée moyenne un plan réel.
La somme des rayons de courbure des surfaces S, est donnée par la formule
R + R^B-wB' + A'+D^^B^-hA',.
On voit par là que pour les surfaces minima l'on'doit avoir
k"=uB" } a; = i*,b;.
Mais il y a avantage à modifier la forme de la fonction
Ç = kjÀh- t/Ai-t-B-t-Bi.
Par des considérations que nous omettons de développer ici, on est amené à définir quatre nouvelles fonctions au moyen des relations
C, C'j étant les dérivées de C, C t .
£ prend alors la forme
Ç = if d + i/ t C - y + " <g| (C / + D ■+- C\ + D,).
Ces fonctions correspondent à quatre courbes analogues aux quatre courbes des plans isotropes. Mais ici, aux fonctions C, C, correspondent les courbes minima arêtes de rebroussement des deux développables isotropes. Leurs plans tangents sont alors définis par les relations
(î — m 1 ) a? -h * (i H- w* )/ -\-iu s-t-aC =o, (i— u\)x— i(i -h u\)y -h 2 m, s 4- 2C| — o.
Aux fonctions D, D { correspondent deux courbes tracées sur le cône isotrope, ayant son sommet à l'origine.
On voit par là que pour D = D| = o les deux courbes tracées sur les développables isotropes se réduisent aux courbes minima, arêtes de rebroussement de ces développables, et, par suite, le milieu du segment décrit une surface minima.
Ainsi est vérifiée la formule connue, relative aux surfaces minima,
48 M. DE MONTCHEUL.
Il est aisé d'établir pour les surfaces à développée moyenne plane une formule analogue à la précédente.
Nous avons vu (p. 21) que par la transformation
(les deux groupes de variables se rapportant au même système) l'équation
devient
ouaiti ou ou t ^
de (/c, de de,
En d'autres termes, par la transformation indiquée, l'équation des surfaces minima se change en une équation définissant les surfaces à développée moyenne plane. Il suffira donc d'intégrer cette équation pour obtenir l'expression de ces surfaces. Nous trouverons ainsi une équation qui, rapprochée de celle des surfaces minima, nous permet d'écrire le système
Si Ton désigne par x , y t , z les coordonnées de la développée moyenne de la surface minima; par x { , y { , z, celles de la développée moyenne à la seconde surface, on trouve les relations
D'ailleurs, d'après la nature même des coordonnées, les normales aux points correspondants des deux surfaces sont parallèles. De ces remarques il est aisé de déduire que les surfaces minima et les surfaces à développée moyenne plane considérées ici sont associées dans les mêmes conditions que celles considérées par M. Darboux à l'endroit cité tout à l'heure.
Si l'on rapproche les équations des lignes de courbure des deux catégories de surfaces, on obtient les équations
C*ûfa l — C[du\ = o 9
Cette dernière équation est d'ailleurs celle des lignes asymploliques des surfaces minima.
On voit donc que les lignes de courbure des surfaces à développée moyenne plane correspondent aux lignes asymptotiques des surfaces minima associées. Si l'on voulait avoir une correspondance entre les lignes de courbure des deux catégories de surfaces, il suffirait de changer C 4 en — C n dans l'expression de Ç relative aux secondes surfaces.
Nous venons d'indiquer une méthode pour déduire, d'une surface minima donnée, une surface à développée moyenne plane qui revient à la méthode de M. Darboux. Elle repose sur l'association des deux formules (i).
Nous allons maintenant reprendre le problème et nous associerons ces deux catégories de surfaces dans des conditions un peu différentes.
Soient #, y y z les coordonnées d'une surface absolument quelconque S; c, c', c" les cosinus directeurs de la normale; x , y , z les coordonnées de la développée moyenne, p la demi-somme des rayons de courbure. Nous désignerons par des majuscules les quantités correspondantes d'une surface 2 transformée de S par les relations
Nous avons déjà déterminé pages 19 et 21 une série de relations entre les quantités # , y 0} s , p ; c, c', c" relatives à S et ces mêmes quantités relatives à S. Nous allons compléter le Tableau en déterminant les expressions des coordonnées de chaque surface en fonction des éléments de l'autre.
Nous obtenons ainsi le Tableau suivant :
Y — /p , Jo = — * R«»
£ ~ Xq, ^o 33 — ^0>
ri c<x — cy CY-C'X
