L- -, , Z- gj

On voit que ces dernières formules sont réciproques au signe près. de M.

00 M. DE MONTCHEUIL.

Si l'on fait p =o, il vient Y =o et les formules précédentes permettent de déduire d'une surface mini ma donnée une surface à développée moyenne plane, et réciproquement.

La relation

montre que les deux surfaces se coupent suivant une courbe située dans le plan des xz. Ce plan étant la développée moyenne de l'une des surfaces et la surface minima étant à elle-même sa développée moyenne, on peut dire que les deux surfaces considérées et leurs développées moyennes ne coupent suivant une même courbe plane.

Les coordonnées x, y 7 z\ X, Y, Z sont liées parla relation

Or, par deux rotations convenables imprimées aux deux surfaces, on peut ramener la relation précédente à la forme suivante

Si maintenant nous considérons celte relation comme définissant une transformation de contact, nous trouvons

\z=z x 4- pz> ar = X-hPZ,

Y = y + qz 9 y= Y4-QZ,

Z = - izs/i -hpt + q*, z = iZs/i H- P 1 -+- Q f .

Ces relations équivalentes à celles que nous venons d'établir ont été données par O. Bonnet (*). Nous venons de voir qu'elles définissent une transformation de contact. De cette remarque on déduit la proposition suivante :

Soient x, y, z les coordonnées d'une sur/ace minima. Considérons une sphère mobile de rayon ± iz dont le centre est la projection du point de la sur/ace minima sur le plan des xy ; l'enveloppe de cette sphère est une surface à développée moyenne plane. Réciproque ment, si x, y, z désignent les coordonnées d'une surface à développée moyenne plane, V enveloppe de la sphère sera une surface minima.

( * ) O. Bonnet, Note sur un genre particulier de surfaces réciproques ( Comptes rendus des séances de V Académie des Sciences de Paris, t. XLII, i856, p. 485).

SUR UNE CLASSE DE SURFACES. 5l

Comme exemple de la théorie précédente, considérons la surface minima d'Enneper. Elle a pour équation

£ = «(««! -h 3) (u 1 H- il*).

Pour en déduire la surface à développée moyenne plane qui lui correspond, d'après la méthode de M. Darboux, il faudrait d'abord identifier l'équation précédente avec la relation

g=nC,-m,C — '^""' (C'h-C;).

On trouve

C = — 2CtU* 9 C\ = — 2au\.

Portant ces valeurs dans la formule

il vient

£ =za(u*-\- u\) — $auu x (u -4- «, ).

On vérifierait sans peine que cette équation définit une surface à développée moyenne plane.

Mais, laissant de côté cette première méthode, cherchons la surface déterminée par la seconde.

Nous devons opérer la transformation

s, t>, e 4 étant toujours définies dans le premier système L'équation devient alors

Revenant à la notation primitive, nous pouvons écrire

ou bien

£ = a(3M, — «)U*^-Lj,

5 = a (s; " " 3 ) "" " M| * (^ " *■) = s (Yî " uu% dy

5 a M. DE MONTCHEUIL.

Nous supposons

Sous cette dernière forme, on constate que la surface à développée moyenne plane déduite ainsi de la surface minima d'Enneper est une surface double. Elle est le lieu du milieu d'un segment dont les extrémités relient les points à normales opposées de la surface

Si Ton a recours aux formules données (p. 9), on trouve pour expression des coordonnées des courbes relatives à la développée moyenne de cette dernière surface,

x = oaur 9 x=z — =-»

Elles sont définies par les systèmes

(x — îy) l = ioSaz* 9 i2a(x-t->iy) — s*=o, x -+- i y =. o, x — iy = o.

Les lignes de courbure sont déterminées par le système

U* — 3lKj *=p,

Par suite, les lignes asymptotiques de la développée moyenne sont données par les relations

Nous avons vu (p. 37) qu'une surface S, étant donnée (la surface définie par T| est de cette nature) il existe une surface minima correspondant à la déve-

Joppée moyenne de S 1 avec orlhogonalité des élémenls dont les lignes de courbure et les lignes asymptotiques correspondent respectivement aux mêmes lignes, l'un des systèmes étant pris sur ia surface E,, Taulre sur sa développée moyenne. Cherchons cette surface.

On a ici

B = — iau*y B t =: — •

Les formules de la page 34 nous donneront donc x~ 6a I (u*—i)udu

J ; = — 6ia I (u* •+- 1) u du