cna I 3 tf^t — tt*(« s -t-2) + 3ta

5 = — 12a / u 1 du — \2 a I — ~ = — 4 au 3 h

La première courbe minima est définie par le système

La seconde est donnée par le système

5 = 24ae na .

Avant de terminer ce paragraphe, disons encore un mot des surfaces à développées moyennes planes prises en général. Nous avons vu qu'on est amené à les considérer comme dérivant des surfaces minima ou des surfaces S 1 selon qu'elles admettent pour développée un plan réel ou un plan isotrope. Cette particularité nous met sur la voie d'une surface plus générale renfermant les surfaces précédentes à titre de cas particuliers, et d'où, par la transformation déjà indiquée, on pourra déduire l'ensemble des surfaces à développées moyennes planes. Il est aisé, en effet, de déterminer l'équation aux dérivées partielles de cette surface.

Soient x , y , z les coordonnées de la développée moyenne d'une surface quelconque; a, (3, y des constantes également quelconques. Dans le cas qui nous

)\ M. DE MONTCHEUIL*

occupe on a

(i) aa?o-+-P/ -*-y-o=o.

Définissons une fonction o par la relation

(a) (« + «,)« -*-*(«,— m) (3 -h (uiti — i)y -h 9=0.

Si Ton porte dans l'équation (i)les valeurs de x ,y , z définies page 8 et qu'on tienne compte de (2), on constate que l'équation aux dérivées partielles des surfaces à développées moyennes planes peut s'écrire

(3) W <*p dl d 9 âj i d'y t

r âti()iti du x du du du x dudu x *

équation dont l'intégrale est définie par la formule

U, Ui représentant des fonctions respectives de u et de u x ; U', U', les dérivées de ces fonctions.

Si maintenant nous effectuons la transformation

on vérifie que l'équation (3) se transformera en une équation définissant une classe de surfaces qui renferme à titre de cas particuliers les surfaces minima et les surfaces E,. Ces cas particuliers s'obtiendront par une détermination convenable des constantes a, [3, y« I-a transformation précédente appliquée à la formule (4) donnera en termes finis les surfaces cherc liées.