VI. — Courbes tracées sur le cône isotrope

Nous avons déjà vu que les surfaces H peuvent être définies par l'équation

5 = uCt -h «, c - LïJîîb. (c+c; + d + d, ).

On en déduit les expressions suivantes des coordonnées de la développée

moyenne

*.= f l -=^-C?du + ^-D'4- yi^ïî C7rf«,+ i=^D' |f

Ces formules permettent de constater, ce que nous avons dit déjà, que pour D = o, D, = o la fonction $ définit les surfaces minima.

Nous allons dire quelques mots des surfaces pour lesquelles on a au contraire C = o, Ci = o.

On a alors

Ces formules montrent que les deux courbes, lieux des extrémités du segment dont le milieu décrit la développée moyenne, sont des courbes tracées sur Tunique cône isotrope auquel se réduisent les deux développables isotropes.

On vérifie qu'un point quelconque^, y, z du segment mobile satisfait à la relation

c x -+- c'y -+ c ff z — o.

La normale à la surface est donc perpendiculaire au rayon vecteur de tout point du segment et, par suite, est perpendiculaire au plan déterminé par ce segment et par l'origine.

Cette propriété des surfaces considérées permet d'indiquer ce mode de construction de la normale :

Traçons deux courbes quelconques sur un cône isotrope et coupons-les peuun plan quelconque passant par V origine ; si, par le milieu du segment qui relie les points d 7 intersection des deux courbes et du plan, nous élevons une perpendiculaire à ce plan, cette droite sera la normale à la surface H correspondante. Le point milieu du segment décrira la développée moyenne.

56 M. DE MONTCHEUtL.